Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
F: P2(R) P2(R) dada por F(f(t))=t^2 f^prime prime(t).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Fcolon P2(R) to P2(R), Fl(f(t)r)=t^2f''(t)
O objetivo é determinar uma base e a dimensão de ker(F) e de Im(F). Para isso vamos usar representação canônica de polinômios em P2(R) e as definições de núcleo e imagem.

Passo 2

Para achar procuramos todos os tais que
como polinômio nulo. Como não é o polinômio zero, isso implica
Integrando duas vezes, obtemos
com . Logo
e portanto .

Passo 3

Para a imagem, tomemos o polinômio geral de grau
Calculamos
Isso mostra que qualquer valor de é um múltiplo de . Logo
e assim .

Resposta

Exercícios relacionados