Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
dada por
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
O objetivo é determinar uma base e a dimensão de
e de
. Para isso vamos usar representação canônica de polinômios em
e as definições de núcleo e imagem.
Passo 2
Para achar
procuramos todos os
tais que
como polinômio nulo. Como
não é o polinômio zero, isso implica
Integrando duas vezes, obtemos
com
. Logo
e portanto
.
Passo 3
Para a imagem, tomemos o polinômio geral de grau
Calculamos
Isso mostra que qualquer valor de
é um múltiplo de
. Logo
e assim
.