Classifique cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta demonstrando, caso seja Verdadeira, ou dando um contra-exemplo, caso seja Falsa.
Se p >= 2 e dim V=p então todo conjunto com p-1 vetores não-nulos é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado afirma que, num espaço vetorial V de dimensão p>=2, qualquer conjunto formado por p-1 vetores não nulos seria necessariamente linearmente independente. O conteúdo envolvido é a definição de dimensão de um espaço vetorial, base e independência linear.

Passo 2

Lembre que em um espaço de dimensão p toda base tem exatamente p vetores e que vale:
– Qualquer conjunto com mais de p vetores é forçosamente linearmente dependente.
– Conjuntos com menos de p vetores podem ser independentes ou dependentes, pois não atingem o tamanho de uma base, mas nem todo subconjunto próprio de uma base é automaticamente independente (basta repetir um vetor).

Passo 3

Para dar um contra-exemplo concreto, tome p=3 e V= R^3. Então p-1=2.
Escolha um vetor não nulo qualquer, digamos
v=(1,0,0),
e formem o conjunto de dois vetores
,v,;2v = (1,0,0),,(2,0,0)
Ambos são não nulos, mas são linearmente dependentes porque existe escalares alpha e beta, nem ambos zero, tais que
alpha,(1,0,0)+beta,(2,0,0)=(0,0,0)
Por exemplo, alpha=2, beta=-1 satisfaz
2,(1,0,0)-1,(2,0,0)=(0,0,0)

Passo 4

Esse contra-exemplo pode ser estendido a qualquer p>=3: basta repetir um dos vetores num conjunto de p-1 não nulos para produzir dependência. Logo, não é verdade que todo conjunto com p-1 vetores não nulos em V seja independente.

Resposta

Falsa. O conjunto formado por vetores proporcionais (por exemplo v,2v em R^3) tem p-1 vetores não nulos e, mesmo assim, é linearmente dependente.

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