Classifique cada afirmação como Verdadeira ou Falsa. Justifique cada resposta demonstrando, caso seja Verdadeira, ou dando um contra-exemplo, caso seja Falsa.
Se
e
então todo conjunto com
vetores não-nulos é linearmente independente.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que, num espaço vetorial
de dimensão
, qualquer conjunto formado por
vetores não nulos seria necessariamente linearmente independente. O conteúdo envolvido é a definição de dimensão de um espaço vetorial, base e independência linear.
Passo 2
Lembre que em um espaço de dimensão
toda base tem exatamente
vetores e que vale:
– Qualquer conjunto com mais de vetores é forçosamente linearmente dependente.
– Conjuntos com menos de vetores podem ser independentes ou dependentes, pois não atingem o tamanho de uma base, mas nem todo subconjunto próprio de uma base é automaticamente independente (basta repetir um vetor).
– Qualquer conjunto com mais de
– Conjuntos com menos de
Passo 3
Para dar um contra-exemplo concreto, tome
e
. Então
.
Escolha um vetor não nulo qualquer, digamos
Escolha um vetor não nulo qualquer, digamos
e formem o conjunto de dois vetores
Ambos são não nulos, mas são linearmente dependentes porque existe escalares
e
, nem ambos zero, tais que
Por exemplo,
,
satisfaz
Passo 4
Esse contra-exemplo pode ser estendido a qualquer
: basta repetir um dos vetores num conjunto de
não nulos para produzir dependência. Logo, não é verdade que todo conjunto com
vetores não nulos em
seja independente.
Resposta
Falsa. O conjunto formado por vetores proporcionais (por exemplo
em
) tem
vetores não nulos e, mesmo assim, é linearmente dependente.