Considere o sistema linear abaixo (nas variáveis x, y, z ):
ccc x+y+z & = & 2 2 x+3 y+2 z & = & 6 2 x+3 y+(a^2-(2)) z & = & a+8
Para quais valores de a esse sistema possui infinitas soluções? Resposta: a= square
Para quais valores de a esse sistema é impossível? Resposta: a= square

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em
O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares: para identificar valores de (a] que tornam a matriz de coeficientes singular (determinante zero) e depois verificar consistência (Rouché–Frobenius).

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 2 & 3 & a^2-2
e calculamos seu determinante. Usando expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet!3&23&a^2-2 -1cdotdet!2&22&a^2-2 +1cdotdet!2&32&3
Fazendo as contas chega-se a
det(A)=a^2-4=(a-2)(a+2)

Passo 3

O sistema fica singular (possível infinitas soluções ou impossível) quando
det(A)=0Long<=ftrightarrow a^2-4=0Longrightarrow a=pm2
Para aneqpm2 temos det(A)neq0 e, portanto, solução única.

Passo 4

Quando a=pm2, a terceira equação é
2x+3y+(a^2-2)z = a+8 Longrightarrow 2x+3y+2z = a+8
Mas a segunda equação vale sempre 2x+3y+2z=6. Logo:
  • Se a+8neq6, a terceira equação contradiz a segunda Rightarrow sistema impossível.
  • Se a+8=6, a terceira é igual à segunda Rightarrow posto da matriz de coeficientes = posto da aumentada =2 < 3Rightarrow infinitas soluções.

Passo 5

Resolver a+8=6 a=-2. Então:
  • Para a=2 obtemos a+8=10neq6 Rightarrow sistema impossível.
  • Para a=-2 obtemos a+8=6 Rightarrow terceira eq é repetida Rightarrow infinitas soluções.

Resposta

Infinitas soluções: a=-2
Sistema impossível: a=2

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