Sejam A e B bases ordenadas do R^3. Considere a matriz de mudança de base abaixo, cujas colunas são as coordenadas dos vetores de A com respeito à base B.
M=[rrr0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0]
Seja u=(0,-4,-5)A, ou seja, 0,-4 e -5 são, nessa ordem, as coordenadas de u com respeito à base A.
Se (a, b, c)B são as coordenadas de u com respeito à base B, então a+b+c é:

Passo 1

Resumindo o problema: temos duas bases ordenadas A e B de R^3. A matriz de mudança de base de A para B é
M = 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 ,
cuja j-ésima coluna são as coordenadas, em B, do j-ésimo vetor de A. Dado vec u com coordenadas [u]A=(0,-4,-5), queremos encontrar [u]B=(a,b,c) e então calcular a+b+c. Para isso usamos a relação
[u]B ;=; M,[u]A

Passo 2

Aplicando a fórmula:
[u]B ;=; 0 & -1 & -2 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0-4-5 = 0cdot011 +(-4)cdot-101 +(-5)cdot-2-10 = 145-4
Logo (a,b,c)=(14,5,-4).

Passo 3

Somando as componentes obtidas:
a+b+c = 14 + 5 - 4 = 15

Resposta

15

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