Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
F: R^2 R^2 dada por F(x, y)=(2 x, x+y).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Fcolon R^2toR^2, F(x,y) = (2x,;x+y)
Queremos encontrar uma base e a dimensão de ker(F) e de Im(F). Vamos usar representação matricial, resolver F(x,y)=0 para o núcleo e estudar as colunas da matriz para a imagem.

Passo 2

Escrevemos em coordenadas padrão. Se é visto como vetor coluna, então
Denotemos
O núcleo de são as soluções de .]

Passo 3

Resolvendo
temos o sistema
Da primeira equação segue . Substituindo na segunda, . Logo
ou seja, só o vetor nulo. Portanto
e uma base para é o conjunto vazio (não há vetor não trivial).

Passo 4

A imagem de F é o subespaço gerado pelas colunas de A, isto é,
Im(F) = spanl(2,1),;(0,1)r
Para ver se esses dois vetores são independentes, cheque o determinante de A:
det(A) = 2cdot1 - 0cdot1 = 2 neq 0
Como det(A)neq 0, as colunas são linearmente independentes e geram todo R^2. Assim
diml(Im(F)r) = 2
e uma base natural é
(2,1),,(0,1)

Passo 5

Como conferência, o Teorema da Dimensão (rank–nullity) diz
dim(ker F) + dim(ImF) = 2,
e de fato 0 + 2 = 2, batendo com nossos cálculos.

Resposta

Base de ker(F): emptyset, dim ker(F) =0
Base de Im(F): (2,1),,(0,1), dim Im(F) =2.

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