Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
dada por
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Queremos encontrar uma base e a dimensão de
e de
. Vamos usar representação matricial, resolver
para o núcleo e estudar as colunas da matriz para a imagem.
Passo 2
Escrevemos
em coordenadas padrão. Se
é visto como vetor coluna, então
Denotemos
O núcleo de
são as soluções de
.]
Passo 3
Resolvendo
temos o sistema
Da primeira equação segue
. Substituindo na segunda,
dá
. Logo
ou seja, só o vetor nulo. Portanto
e uma base para
é o conjunto vazio (não há vetor não trivial).
Passo 4
A imagem de
é o subespaço gerado pelas colunas de
, isto é,
Para ver se esses dois vetores são independentes, cheque o determinante de
:
Como
, as colunas são linearmente independentes e geram todo
. Assim
e uma base natural é
Passo 5
Como conferência, o Teorema da Dimensão (rank–nullity) diz
e de fato
, batendo com nossos cálculos.
Resposta
Base de
:
, dim
Base de :
, dim
.
Base de