Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem: definida por .
Passo 1
O enunciado pede para a transformação linear
determinar uma base e a dimensão do núcleo () e da imagem (). Vamos usar a matriz de na base canônica, aplicar eliminação de Gauss para achar o posto (dimensão da imagem) e depois resolver o sistema homogêneo para achar o núcleo.
Passo 2
Escrevendo em coordenadas canônicas, sua matriz é obtida pelas imagens dos vetores canônicos de como colunas:
onde ;c1=(1,1,2,0)^T,;c2=(-1,1,-1,-1)^T,;c3=(-1,1,1,0)^T.
Passo 3
Para achar
Isso gera o sistema
Da quarta equação vem . Logo as colunas são linearmente independentes.
Logo uma base de é
e
Passo 4
Para achar
Da última equação vem e , o que força . Portanto a única solução é .
Isto mostra que
é o subespaço zero, cuja base é o conjunto vazio e
Resposta
Base de Im(F): (1,1,2,0),,(-1,1,-1,-1),,(-1,1,1,0) dim(Im(F))=3