Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
F: R^3 R^4 definida por F(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z, 2 x-y+z,-y).

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear
Fcolon R^3toR^4, F(x,y,z)=(x-y-z,;x+y+z,;2x-y+z,;-y)
determinar uma base e a dimensão do núcleo ( ker(F)) e da imagem ( Im(F)). Vamos usar a matriz de F na base canônica, aplicar eliminação de Gauss para achar o posto (dimensão da imagem) e depois resolver o sistema homogêneo para achar o núcleo.

Passo 2

Escrevendo F em coordenadas canônicas, sua matriz A é obtida pelas imagens dos vetores canônicos de R^3 como colunas:
A = 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0 ,
onde
;c1=(1,1,2,0)^T,;c2=(-1,1,-1,-1)^T,;c3=(-1,1,1,0)^T.

Passo 3

Para achar
Isso gera o sistema
Da quarta equação vem . Logo as colunas são linearmente independentes.
Logo uma base de é
e

Passo 4

Para achar
Da última equação vem e , o que força . Portanto a única solução é .
Isto mostra que
é o subespaço zero, cuja base é o conjunto vazio e

Resposta

Base de Im(F): (1,1,2,0),,(-1,1,-1,-1),,(-1,1,1,0)
dim(Im(F))=3
Base de ker(F): varnothing
dim(ker(F))=0

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