Mostrar que as matrizes:

formam uma base de .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as quatro matrizes
A=1&10&0, B=2&10&0, C=0&11&0, D=0&00&2
formam uma base de M2(R).
Sabemos que diml(M2(R)r)=4, logo basta provar que A,B,C,D é um conjunto linearmente independente em um espaço de dimensão 4.

Passo 2

Para verificar independência linear, consideremos uma combinação linear que dê a matriz nula:
alpha A + beta B + gamma C + de<a D ;=; 0&00&0
Nosso objetivo é mostrar que alpha=beta=gamma=de<a=0.

Passo 3

Escrevendo a combinação elemento a elemento, obtemos
alpha1&10&0 + beta2&10&0 + gamma0&11&0 + de<a0&00&2 = alpha+2beta & alpha+beta+gamma gamma & 2de<a = 0&00&0
Isso gera o sistema de equações:
alpha + 2beta = 0, alpha + beta + gamma = 0, gamma = 0, 2de<a = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação segue gamma=0.
  • Da quarta equação segue de<a=0.
  • Substituindo gamma=0 na segunda, alpha+beta=0.
  • Da primeira, alpha+2beta=0.
Comparando alpha+2beta=0 e alpha+beta=0 subtraímos para obter beta=0. Então alpha=0.

Passo 5

Como a única solução do sistema é
alpha=beta=gamma=de<a=0, o conjunto A,B,C,D é linearmente independente. Em um espaço de dimensão 4, qualquer conjunto de 4 vetores independentes forma uma base.

Resposta

As quatro matrizes são linearmente independentes e, por serem 4 em um espaço de dimensão 4, formam uma base de M2(R).

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