O enunciado pede para mostrar que as quatro matrizes
formam uma base de .
Sabemos que , logo basta provar que é um conjunto linearmente independente em um espaço de dimensão 4.
Passo 2
Para verificar independência linear, consideremos uma combinação linear que dê a matriz nula:
Nosso objetivo é mostrar que .
Passo 3
Escrevendo a combinação elemento a elemento, obtemos
Isso gera o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação segue gamma=0.
Da quarta equação segue de<a=0.
Substituindo gamma=0 na segunda, alpha+beta=0.
Da primeira, alpha+2beta=0.
Comparando alpha+2beta=0 e alpha+beta=0 subtraímos para obter beta=0. Então alpha=0.
Passo 5
Como a única solução do sistema é alpha=beta=gamma=de<a=0, o conjunto A,B,C,D é linearmente independente. Em um espaço de dimensão 4, qualquer conjunto de 4 vetores independentes forma uma base.
Resposta
As quatro matrizes são linearmente independentes e, por serem 4 em um espaço de dimensão 4, formam uma base de M2(R).