Seja
um vetor genérico do
. A aplicação definida abaixo é um operador linear do
?
;
Passo 1
O enunciado informa que para todo vetor genérico
definimos
e pergunta se
é um operador linear em
. Vamos usar a definição de linearidade: preservação de soma e produto escalar.
Passo 2
Um operador
é linear se, e somente se, para todo
e todo escalar
, vale
Um teste rápido é verificar o valor de
na origem
, pois toda aplicação linear satisfaz
.
Passo 3
Calculamos
Porém a condição de linearidade exigiria
o que não acontece. Logo
não preserva o vetor zero.
Resposta
Não,
não é operador linear em
.