Seja u=(x, y, z, t) um vetor genérico do R^4. A aplicação definida abaixo é um operador linear do R^4?
F(u)=(1,0,1,1);

Passo 1

O enunciado informa que para todo vetor genérico u=(x,y,z,t)inR^4 definimos
F(u) = (1,0,1,1)
e pergunta se F é um operador linear em R^4. Vamos usar a definição de linearidade: preservação de soma e produto escalar.

Passo 2

Um operador FcolonR^4toR^4 é linear se, e somente se, para todo u,vinR^4 e todo escalar alpha, vale
F(u + v) = F(u) + F(v) e F(alpha,u) = alpha,F(u)
Um teste rápido é verificar o valor de F na origem 0=(0,0,0,0), pois toda aplicação linear satisfaz F(0)=0.

Passo 3

Calculamos
F(0) = F(0,0,0,0) = (1,0,1,1)
Porém a condição de linearidade exigiria
F(0) = 0 = (0,0,0,0),
o que não acontece. Logo F não preserva o vetor zero.

Resposta

Não, F não é operador linear em R^4.

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