( 2,0 pts ) Determine a equação geral da elipse de focos F1(0,-4) e F2(0,4) e eixo maior igual a 10 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de elipse! O enunciado nos dá os dois focos da elipse, que estão em F1(0,-4) e F2(0,4) , e também o comprimento do eixo maior, que é 10. Vamos precisar das fórmulas das elipses e entender como relacionar os focos, o centro, e os eixos para achar a equação geral.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a equação geral de uma elipse centrada na origem, com eixo maior vertical, é dada por:
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Aqui, a é o semieixo maior (metade do comprimento do eixo maior) e b é o semieixo menor.

Passo 3

Os focos da elipse são F1(0,-4) e F2(0,4) . Como eles estão alinhados no eixo y e simétricos em relação à origem, podemos concluir que o centro da elipse é o ponto médio entre os focos, que é (0,0) .

Passo 4

A distância do centro a cada foco é chamada de c . Calculando:
c = 4
Isso porque os focos estão a 4 unidades acima e abaixo do centro.

Passo 5

Nos foi dado que o comprimento do eixo maior é 10. Como a é o semieixo maior, temos:
a = 102 = 5

Passo 6

Sabemos que em uma elipse válida a relação entre a , b e c é:
c^2 = a^2 - b^2
Vamos usar isso para encontrar b .

Passo 7

Substituindo os valores que já temos:
4^2 = 5^2 - b^2 16 = 25 - b^2 b^2 = 25 - 16 b^2 = 9 b = 3

Passo 8

Agora que temos a = 5 e b = 3 , podemos substituir esses valores na equação geral da elipse:
x^29 + y^225 = 1

Resposta

A equação geral da elipse é:
x^29 + y^225 = 1

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