(
) Determine a equação geral da elipse de focos
e
e eixo maior igual a 10 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de elipse! O enunciado nos dá os dois focos da elipse, que estão em
e
, e também o comprimento do eixo maior, que é 10. Vamos precisar das fórmulas das elipses e entender como relacionar os focos, o centro, e os eixos para achar a equação geral.
Passo 2
Primeiro, lembremos que a equação geral de uma elipse centrada na origem, com eixo maior vertical, é dada por:
Aqui,
é o semieixo maior (metade do comprimento do eixo maior) e
é o semieixo menor.
Passo 3
Os focos da elipse são
e
. Como eles estão alinhados no eixo y e simétricos em relação à origem, podemos concluir que o centro da elipse é o ponto médio entre os focos, que é
.
Passo 4
A distância do centro a cada foco é chamada de
. Calculando:
Isso porque os focos estão a 4 unidades acima e abaixo do centro.
Passo 5
Nos foi dado que o comprimento do eixo maior é 10. Como
é o semieixo maior, temos:
Passo 6
Sabemos que em uma elipse válida a relação entre
,
e
é:
Vamos usar isso para encontrar
.
Passo 7
Substituindo os valores que já temos:
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos substituir esses valores na equação geral da elipse:
Resposta
A equação geral da elipse é: