Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a respectiva dimensão do núcleo e da imagem.
(b) T: R^2 R^3 dada por T(x, y) doteq(2 y, x-y,-x), (x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2toR^3, T(x,y)=(2y,;x-y,;-x),
e pede uma base e a dimensão de ker(T) e de Im(T).
Para isto iremos usar as definições:
ker(T)=(x,y)mid T(x,y)=0.
Im(T)=T(v)mid vinR^2.

Passo 2

Encontramos ker(T) resolvendo
T(x,y)=(2y,;x-y,;-x)=(0,0,0)
Isso gera o sistema
2y=0, x-y=0, -x=0
Da primeira equação y=0. Da terceira x=0. A segunda fica 0-0=0, já satisfeita. Logo
ker(T)=(0,0)

Passo 3

Como o único vetor no núcleo é o vetor nulo, temos
dimker(T)=0,
e a base de ker(T) é o conjunto vazio emptyset (base do subespaço trivial).

Passo 4

Para a imagem, note que basta ver onde vão os vetores canônicos de R^2:
T(1,0)=(0,1,-1), T(0,1)=(2,-1,0)
Logo
Im(T)=Spanl(0,1,-1),,(2,-1,0)r

Passo 5

Verificamos que (0,1,-1) e (2,-1,0) são independentes: se
a,(0,1,-1)+b,(2,-1,0)=(0,0,0)
então da primeira componente 2b=0implies b=0 e da segunda a-b=0implies a=0. Portanto são base da imagem e
dimIm(T)=2

Resposta

Base de ker(T): emptyset, dimker(T)=0.
Base de Im(T): (0,1,-1),,(2,-1,0), dimIm(T)=2.

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