Para cada uma das transformações lineares abaixo determinar uma base e a respectiva dimensão do núcleo e da imagem.
(b)
dada por
.
(b)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede uma base e a dimensão de
e de
.
Para isto iremos usar as definições:
– .
– .
Para isto iremos usar as definições:
–
–
Passo 2
Encontramos
resolvendo
Isso gera o sistema
Da primeira equação
. Da terceira
. A segunda fica
, já satisfeita. Logo
Passo 3
Como o único vetor no núcleo é o vetor nulo, temos
e a base de
é o conjunto vazio
(base do subespaço trivial).
Passo 4
Para a imagem, note que basta ver onde vão os vetores canônicos de
:
Logo
Passo 5
Verificamos que
e
são independentes: se
então da primeira componente
e da segunda
. Portanto são base da imagem e
Resposta
Base de
:
,
.
Base de :
,
.
Base de