Mostre que <u, v>=x1 y1+2 x2 y2, para todo par de vetores u=(x1, x2) e v=(y1, y2) é um produto interno em R^2. E verifique se u e v são ortogonais, em relação a este produto interno, nos seguintes casos:
(c) u=(3,2) e v=(2,-1).

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação lang<=cdot,cdotrang<=colonR^2timesR^2toR definida por
lang<= u,vrang<= = x1y1 + 2,x2y2,
onde u=(x1,x2) e v=(y1,y2). Precisamos mostrar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno em R^2:
  1. simetria,
  2. bilinearidade em cada argumento,
  3. positividade definida.
    Em seguida, verificar se u=(3,2) e v=(2,-1) são ortogonais, ou seja, se lang<= u,vrang<==0.

Passo 2

(Simetria e bilinearidade)
  1. Simetria: trocando u por v temos
lang<= v,urang<= = y1x1 + 2,y2x2 = x1y1 + 2,x2y2 = lang<= u,vrang<=
  1. Linearidade em cada argumento: para quaisquer u,u',vinR^2 e alphainR,
lang<= u+u',vrang<= = (x1+x'1)y1 + 2,(x2+x'2)y2 = x1y1+2x2y2 + x'1y1+2x'2y2 = lang<= u,vrang<= + lang<= u',vrang<=,
lang<= alpha u,vrang<= = (alpha x1)y1 + 2,(alpha x2)y2 = alpha,(x1y1+2x2y2) = alphalang<= u,vrang<=
Analogamente em relação ao segundo argumento.

Passo 3

(Definida positiva)
Para qualquer u=(x1,x2)neq(0,0),
lang<= u,urang<= = x1^2 + 2,x2^2
Como x1^2>=0 e 2x2^2>=0, e pelo menos um dos xi é não nulo, segue lang<= u,urang<=>0. Além disso lang<= u,urang<==0 só se u=(0,0). Logo, a forma é positivamente definida.

Passo 4

(Ortogonalidade de u=(3,2) e v=(2,-1))
Basta calcular
lang<= u,vrang<= = 3cdot2 + 2cdot2cdot(-1) = 6 - 4 = 2
Como lang<= u,vrang<= = 2 neq 0, os vetores não são ortogonais.

Resposta

Os vetores u=(3,2) e v=(2,-1) não são ortogonais, pois
lang<= u,vrang<= = 2 neq 0.

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