Mostre que
, para todo par de vetores
e
é um produto interno em
. E verifique se
e
são ortogonais, em relação a este produto interno, nos seguintes casos:
(c)
e
.
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação
definida por
onde
e
. Precisamos mostrar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno em
:
- simetria,
- bilinearidade em cada argumento,
- positividade definida.
Em seguida, verificar see são ortogonais, ou seja, se .
Passo 2
(Simetria e bilinearidade)
- Simetria: trocando
por temos
- Linearidade em cada argumento: para quaisquer
e ,
Analogamente em relação ao segundo argumento.
Passo 3
(Definida positiva)
Para qualquer ,
Para qualquer
Como
e
, e pelo menos um dos
é não nulo, segue
. Além disso
só se
. Logo, a forma é positivamente definida.
Passo 4
(Ortogonalidade de
e
)
Basta calcular
Basta calcular
Como
, os vetores não são ortogonais.
Resposta
Os vetores
e
não são ortogonais, pois
.