Encontrar os autovalores e suas respectivas multiplicidades (algébrica e geométrica) e os autovetores do operador linear T: V V nos seguintes casos:
(b) V doteq R^2, T(x, y) doteq(-x,-y),(x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores, as multiplicidades algébrica e geométrica e os autovetores do operador linear Tcolon R^2toR^2 dado por T(x,y)=(-x,-y). Este conteúdo envolve associar uma matriz a T, calcular o polinômio característico e resolver o sistema que define o espaço próprio.

Passo 2

Representando T na base canônica, sua matriz é
A = -1 & 0 [6pt] 0 & -1
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det! -1-lambda & 0 [3pt] 0 & -1-lambda = (-1-lambda)^2 = (lambda+1)^2 ]

Passo 3

Da expressão (lambda+1)^2 concluímos que o único autovalor é lambda=-1 e que sua multiplicidade algébrica é 2.

Passo 4

Para achar a multiplicidade geométrica, resolvemos
(A - (-1)I)v = (A + I)v = 0
Como
A + I = -1 & 0 [3pt] 0 & -1 + 1 & 0 [3pt] 0 & 1 = 0 & 0 [3pt] 0 & 0 ,
qualquer vetor v=(x,y)inR^2 satisfaz (A+I)v=0. Logo o espaço próprio tem dimensão 2 e a multiplicidade geométrica de lambda=-1 também é 2.]

Passo 5

Portanto, todo vetor não nulo v=(x,y) em R^2 é autovetor associado a lambda=-1.

Resposta

O operador T tem um único autovalor lambda=-1 com
multiplicidade algébrica 2 e multiplicidade geométrica 2.
Os autovetores são todos os vetores (x,y)neq(0,0) em R^2.

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