Encontrar os autovalores e suas respectivas multiplicidades (algébrica e geométrica) e os autovetores do operador linear
nos seguintes casos:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os autovalores, as multiplicidades algébrica e geométrica e os autovetores do operador linear
dado por
. Este conteúdo envolve associar uma matriz a
, calcular o polinômio característico e resolver o sistema que define o espaço próprio.
Passo 2
Representando
na base canônica, sua matriz é
O polinômio característico é
Passo 3
Da expressão
concluímos que o único autovalor é
e que sua multiplicidade algébrica é
.
Passo 4
Para achar a multiplicidade geométrica, resolvemos
Como
qualquer vetor
satisfaz
. Logo o espaço próprio tem dimensão
e a multiplicidade geométrica de
também é
.]
Passo 5
Portanto, todo vetor não nulo
em
é autovetor associado a
.
Resposta
O operador
tem um único autovalor
com
multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica
.
Os autovetores são todos os vetores em
.
multiplicidade algébrica
Os autovetores são todos os vetores