Considere W=(x, y, z, t) in R^4: x+y+z+t=0 subespaço vetorial de R^4. Verifique se cada uma das bases abaixo de W são ortonormais:
(b) C=(-raiz22, raiz22, 0,0),(-raiz66,-raiz66, 2 raiz66, 0),(-raiz36,-raiz36,-raiz36, raiz32)

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = (x,y,z,t)inR^4 : x+y+z+t=0
e propõe a base
C=l v1=l(-tfracraiz22,,tfracraiz22,,0,,0r), v2=l(-tfracraiz66,,-tfracraiz66,,tfrac2raiz66,,0r), v3=l(-tfracraiz36,,-tfracraiz36,,-tfracraiz36,,tfracraiz32r) r
Para ser ortonormal, cada vetor deve pertencer a W, ser unitário e ser ortogonal aos demais. Primeiro, verificamos que v1,v2,v3in W checando x+y+z+t=0 em cada um:
-tfracraiz22+tfracraiz22+0+0=0, -tfracraiz66-tfracraiz66+tfrac2raiz66+0=0, -tfracraiz36-tfracraiz36-tfracraiz36+tfracraiz32=0

Passo 2

Usamos o produto interno canônico lang<= u,vrang<==sumi=1^4ui,vi e calculamos os produtos mistos:
lang<= v1,v2rang<= =l(-tfracraiz22r)l(-tfracraiz66r) +l(tfracraiz22r)l(-tfracraiz66r) =0,
lang<= v1,v3rang<= =l(-tfracraiz22r)l(-tfracraiz36r) +l(tfracraiz22r)l(-tfracraiz36r) =0,
lang<= v2,v3rang<= =l(-tfracraiz66r)l(-tfracraiz36r) +l(-tfracraiz66r)l(-tfracraiz36r) +l(tfrac2raiz66r)l(-tfracraiz36r) =0

Passo 3

Calculamos as normas lVert vrVert=raizlang<= v,vrang<=:
lang<= v1,v1rang<= =tfrac12+tfrac12=1, lang<= v2,v2rang<= =tfrac636+tfrac636+tfrac2436=1, lang<= v3,v3rang<= =tfrac336+tfrac336+tfrac336+tfrac34=1
Logo lVert v1rVert=lVert v2rVert=lVert v3rVert=1.

Passo 4

Como v1,v2,v3in W, são mutuamente ortogonais e de norma unitária, concluímos que C é uma base ortonormal de W.

Resposta

A base C é ortonormal.

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