Sejam U doteq R^3, V doteq R^2, beta doteq(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e gamma doteq(1,0),(0,1) bases dos espaços vetoriais U e V, respectivamente. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, T in L(U, V) tal que [T]beta gamma seja a matriz:
b) (lll0 & 0 & 1 0 & 1 & 0)

Passo 1

O enunciado dá os espaços vetoriais U=R^3 e V=R^2 com as bases canônicas
beta=e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1) em U e
gamma=f1=(1,0),f2=(0,1) em V.
Pede-se Tin L(U,V) tal que
[T]betagamma = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0

Passo 2

Lembrando que a coluna j de [T]betagamma é o vetor coordenado de T(ej) em relação a gamma.

Passo 3

Da matriz dada extraímos as colunas:
– Coluna 1 (0,0)^T significa
T(e1) = 0,f1 + 0,f2 = (0,0)
– Coluna 2 (0,1)^T significa
T(e2) = 0,f1 + 1,f2 = (0,1)
– Coluna 3 (1,0)^T significa
T(e3) = 1,f1 + 0,f2 = (1,0)

Passo 4

Para um vetor genérico (x,y,z)inR^3 escrevemos
(x,y,z) = x,e1 + y,e2 + z,e3
Pela linearidade de T,
T(x,y,z) = x,T(e1) + y,T(e2) + z,T(e3) = x,(0,0) + y,(0,1) + z,(1,0) = (z,,y)

Resposta

Uma transformação linear que funciona é
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (,z,,,y,)

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