Para cada uma das transformações lineares abaixo
- Encontre uma base e a dimensão para o núcleo;
- Encontre uma base e dimensão para a imegem;
- Verifique se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
definida por
.
Passo 1
O enunciado define
por
O conteúdo é transformação linear, onde vamos usar os conceitos de núcleo (ker), imagem (im), dimensão, e o teorema do posto-nulidade para analisar injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Para achar
, impomos
ou seja
. Um elemento genérico do núcleo é
Logo uma base de
é
e pela presença de três vetores independentes temos
.
Passo 3
Para a imagem, note que para qualquer
basta escolher
para ter . Assim
. Uma base natural é
em
e
.
para ter
Passo 4
Injetividade equivale a
. Como
, temos
, logo
não é injetiva.
Passo 5
Sobrejetividade equivale a
. Já vimos que vale, então
é sobrejetiva.
Passo 6
Bijetividade exige injetividade e sobrejetividade simultâneas. Aqui falta injetividade, logo
não é bijetiva.
Resposta
Base do núcleo:
Dimensão do núcleo:
Base da imagem:
Dimensão da imagem:
Injetiva: não
Sobrejetiva: sim
Bijetiva: não
Dimensão do núcleo:
Base da imagem:
Dimensão da imagem:
Injetiva: não
Sobrejetiva: sim
Bijetiva: não