Para cada uma das transformações lineares abaixo
  • Encontre uma base e a dimensão para o núcleo;
  • Encontre uma base e dimensão para a imegem;
  • Verifique se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
    T: \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} definida por T\left(\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]\right)=a+d.

Passo 1

O enunciado define T\colon M_{2\times2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R} por
T\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr)=a+d.
O conteúdo é transformação linear, onde vamos usar os conceitos de núcleo (ker), imagem (im), dimensão, e o teorema do posto-nulidade para analisar injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Para achar \ker(T), impomos
T\!\bigl(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\bigr)=a+d=0,
ou seja d=-a. Um elemento genérico do núcleo é
\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a&b\c&-a\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}.
Logo uma base de \ker(T) é
\left\{ \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix} \right\},
e pela presença de três vetores independentes temos \dim\bigl(\ker(T)\bigr)=3.

Passo 3

Para a imagem, note que para qualquer r\in\mathbb{R} basta escolher
\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
para ter T(\cdot)=r. Assim \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}. Uma base natural é \{1\} em \mathbb{R} e
\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=1.

Passo 4

Injetividade equivale a \ker(T)=\{0\}. Como \dim(\ker(T))=3>0, temos \ker(T)\neq\{0\}, logo T não é injetiva.

Passo 5

Sobrejetividade equivale a \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}. Já vimos que vale, então T é sobrejetiva.

Passo 6

Bijetividade exige injetividade e sobrejetividade simultâneas. Aqui falta injetividade, logo T não é bijetiva.

Resposta

Base do núcleo: \bigl\{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix}\}
Dimensão do núcleo: 3
Base da imagem: \{1\}
Dimensão da imagem: 1
Injetiva: não
Sobrejetiva: sim
Bijetiva: não

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