Para cada uma das transformações lineares abaixo
  • Encontre uma base e a dimensão para o núcleo;
  • Encontre uma base e dimensão para a imegem;
  • Verifique se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
    T: \mathrm{M}_{3 \times 1}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathrm{M}_{3 \times 1}(\mathbb{R}) definida por T(X)=A X, onde
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad X=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
\;T:\mathrm{M}_{3\times1}(\mathbb{R})\to\mathrm{M}_{3\times1}(\mathbb{R}) dada por
T(X)=A\,X, \quad A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 0 & -1 & 2\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \; X=(x,y,z)^{T}.
Queremos encontrar base e dimensão do núcleo ( \ker T), base e dimensão da imagem ( \mathrm{Im}\,T), e verificar se T é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. O conteúdo envolvido é o Teorema do Posto-Nulidade e noções de núcleo e imagem de transformação linear.

Passo 2

Para achar \ker T\) resolvemos \[A\,X=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x + y - z = 0,\\\\ -y + 2z = 0,\\\ x + z = 0. \end{cases}
Da segunda equação \,y=2z\]. Da terceira \(\,x=-z. Substituindo na primeira obtemos 0=0, logo a solução geral é
(x,y,z)=(-t,\,2t,\,t),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Da forma geral segue
\ker T=\{(-t,2t,t)\mid t\in\mathbb{R}\} =\mathrm{span}\{(-1,2,1)\}.
Portanto uma base de \ker T é \{(-1,2,1)\} e \dim\ker T=1.

Passo 4

Para \mathrm{Im}\,T usamos que ela é gerada pelas colunas de A. Denotando
c_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\; c_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\; c_{3}=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix},
temos uma relação
c_{3}=c_{1}-2\,c_{2}.

Passo 5

Como c_{3} é combinação linear de c_{1},c_{2}, as colunas c_{1},c_{2} são independentes e geram \mathrm{Im}\,T. Logo
\mathrm{Im}\,T=\mathrm{span}\{c_{1},c_{2}\} \quad\text{e}\quad \dim\mathrm{Im}\,T=2.

Passo 6

Pelo Teorema do Posto–Nulidade em \mathbb{R}^{3} vale
\dim\ker T+\dim\mathrm{Im}\,T=3.
Aqui \dim\ker T=1>0 implica que T não é injetiva, e \dim\mathrm{Im}\,T=2<3 implica que T não é sobrejetiva. Logo T não é bijetiva.

Resposta

Núcleo: base \{(-1,2,1)\}, dimensão 1.
Imagem: base \{(1,0,1),(1,-1,0)\}, dimensão 2.
T não é injetiva, não é sobrejetiva e, portanto, não é bijetiva.

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