Verifique se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva. T: \mathrm{M}_{3 \times 1}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathrm{M}_{3 \times 1}(\mathbb{R}) definida por T(X)=A X, onde
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\\\ 0 & -1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad X=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]
Passo 1
O enunciado define a transformação linear \;T:\mathrm{M}_{3\times1}(\mathbb{R})\to\mathrm{M}_{3\times1}(\mathbb{R}) dada por
Queremos encontrar base e dimensão do núcleo (\ker T), base e dimensão da imagem (\mathrm{Im}\,T), e verificar se T é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. O conteúdo envolvido é o Teorema do Posto-Nulidade e noções de núcleo e imagem de transformação linear.
Passo 2
Para achar \ker T\) resolvemos
\[A\,X=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x + y - z = 0,\\\\ -y + 2z = 0,\\\ x + z = 0. \end{cases}
Da segunda equação \,y=2z\]. Da terceira \(\,x=-z. Substituindo na primeira obtemos 0=0, logo a solução geral é