Para cada uma das transformações lineares abaixo, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x-y, 0);

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
;Tcolon R^2toR^2,
T(x,y) = (2x - y,,0),
e pede uma base e a dimensão de ker T e de ImT. Vamos usar resolução de sistemas lineares para o núcleo e parametrização da saída para a imagem.

Passo 2

Para achar ker T resolvemos
T(x,y) = (0,0)
que equivale a
2x - y = 0
Isso dá y = 2x. Logo
ker T = (x,2x)mid xinR = Span(1,2)
Portanto uma base de ker T é (1,2) e
diml(ker Tr) = 1

Passo 3

Para a imagem, note que todo vetor de saída tem a forma
T(x,y) = (2x - y,,0)
Chamando t = 2x - y, obtemos
ImT = (t,0)mid tinR = Span(1,0)
Logo uma base de ImT é (1,0) e
diml(ImTr) = 1

Passo 4

Como dimR^2 = 2 e de fato
dim(ker T) + dim(ImT) = 1 + 1 = 2,
confirma-se o Teorema do Núcleo e Imagem.

Resposta

Base de ker T: (1,2), dim(ker T)=1.
Base de ImT: (1,0), dim(ImT)=1.

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