Para cada uma das transformações lineares abaixo, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
;
Passo 1
O enunciado define uma transformação linear
,
e pede uma base e a dimensão de
e de
. Vamos usar resolução de sistemas lineares para o núcleo e parametrização da saída para a imagem.
Passo 2
Para achar
resolvemos
que equivale a
Isso dá
. Logo
Portanto uma base de
é
e
Passo 3
Para a imagem, note que todo vetor de saída tem a forma
Chamando
, obtemos
Logo uma base de
é
e
Passo 4
Como
e de fato
confirma-se o Teorema do Núcleo e Imagem.
Resposta
Base de
:
,
.
Base de :
,
.
Base de