Para cada uma das transformações lineares abaixo, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente precisa encontrar uma base, além de determinar a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matriz da transformação, sistema linear, e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação linear T na forma de uma matriz. A transformação leva um vetor (x, y, z) para (x + 2y, y - z, x + 2z). Podemos representar isso por uma matriz A que multiplica o vetor (x, y, z):
A = 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2

Passo 3

Agora, vamos encontrar o núcleo de T , que é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) que mapeiam para o vetor zero. Isso significa resolver o sistema homogêneo A x y z = 0 0 0 :
x + 2y = 0 y - z = 0 x + 2z = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, temos y = z . Substituindo na primeira equação:
x + 2z = 0 Rightarrow x = -2z
E na terceira equação:
-2z + 2z = 0 Rightarrow 0 = 0
Isso significa que z é livre. Então, podemos expressar as soluções como:
x y z = z -2 1 1

Passo 5

Portanto, o núcleo de T é gerado pelo vetor -2 1 1 , ou seja,
Núc<=o(T) = z -2 1 1 , | , z in R ú
A dimensão do núcleo é 1, já que temos apenas um vetor na base do núcleo.

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem de T . A imagem é o conjunto de todos os vetores resultantes da aplicação de T , ou seja, todas as combinações lineares das colunas da matriz A . A matriz A é:
A = 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2
Vamos encontrar o posto (rank) dessa matriz, que será a dimensão da imagem. Para isso, podemos reduzir a matriz à forma escalonada por linhas.

Passo 7

Reduzindo a matriz A :
1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2
Subtraindo a primeira linha da terceira:
1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 0 & -2 & 2
Multiplicando a segunda linha por 2 e somando à terceira:
1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0
Agora, vemos que temos duas linhas não nulas, então o posto da matriz é 2. Isso significa que a dimensão da imagem é 2.

Passo 8

Para encontrar uma base para a imagem, pegamos as colunas da matriz A que correspondem às pivôs. As duas primeiras colunas são as que têm pivôs. Portanto, uma base para a imagem é formada pelos vetores:
1 0 1 , 2 1 0

Resposta

A base do núcleo de T é -2 1 1 com dimensão 1. A base da imagem de T é 1 0 1 , 2 1 0 com dimensão 2.

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