Encontre a transformação linear T: R^2 R^3, sabendo que
T(-1,1)=(1,2,0) e (0,2) in ker T

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear Tcolon R^2toR^3 tal que
  1. ,T(-1,1)=(1,2,0),
  2. (0,2)inker T, isto é, T(0,2)= (0,0,0).
    Vamos usar a linearidade e escrever T em termos das imagens de (1,0) e (0,1).

Passo 2

Seja e1=(1,0) e e2=(0,1). Definimos
T( e1)=A=(a1,a2,a3), T( e2)=B=(b1,b2,b3)
Pela linearidade, para qualquer (x,y)
T(x,y)=x,A+y,B

Passo 3

Como (0,2)inker T, temos
T(0,2)=0;Longrightarrow;2,B=(0,0,0);Longrightarrow;B=(0,0,0)

Passo 4

Usando T(-1,1)=(1,2,0), escrevemos
T(-1,1)=-1cdot A+1cdot B = -A + B = -A = (1,2,0)
Portanto
-A=(1,2,0)Longrightarrow A=(-1,-2,0)

Passo 5

Substituindo A e B em T(x,y)=xA+yB, obtemos
T(x,y)=x,(-1,-2,0)+y,(0,0,0)=(-x,-2x,0)

Resposta

TcolonR^2toR^3, T(x,y)=(-x,,-2x,,0)

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