Para cada uma das transformações lineares abaixo, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear específica. Estamos trabalhando com transformações lineares no espaço
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como núcleo, imagem, base e dimensão de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função
que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os possíveis vetores que
pode gerar. Observando
, vemos que o segundo componente é igual ao primeiro. Portanto, a imagem de
consiste em todos os vetores da forma
, onde
é um número real.
Passo 4
Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar vetores que geram toda a imagem e são linearmente independentes. Vemos que qualquer vetor da imagem pode ser escrito como
. Portanto,
é uma base para a imagem.
Passo 5
A dimensão da imagem é o número de vetores na base da imagem. Como nossa base para a imagem tem apenas um vetor, a dimensão da imagem é 1.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero, ou seja,
.
Passo 7
Resolvendo
, temos as equações:
Essas duas equações são equivalentes, então basta resolver uma delas:
Isso significa que todo vetor no núcleo é da forma
, onde
é um número real.
Passo 8
Para encontrar uma base para o núcleo, identificamos vetores que geram todo o núcleo e são linearmente independentes. Qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como
. Portanto,
é uma base para o núcleo.
Passo 9
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base do núcleo. Como nossa base para o núcleo tem apenas um vetor, a dimensão do núcleo é 1.
Resposta
A base da imagem de
é
com dimensão 1. A base do núcleo de
é
também com dimensão 1.