Para cada uma das transformações lineares abaixo, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
T: R^2 R^2, T(x, y)=(x+y, x+y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de uma transformação linear específica. Estamos trabalhando com transformações lineares no espaço R^2. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como núcleo, imagem, base e dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. É uma função T: R^n R^m que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, T(x, y) = (x + y, x + y).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem de T. A imagem é o conjunto de todos os possíveis vetores que T pode gerar. Observando T(x, y) = (x + y, x + y), vemos que o segundo componente é igual ao primeiro. Portanto, a imagem de T consiste em todos os vetores da forma (a, a), onde a é um número real.

Passo 4

Para encontrar uma base para a imagem, precisamos identificar vetores que geram toda a imagem e são linearmente independentes. Vemos que qualquer vetor da imagem pode ser escrito como a cdot (1, 1). Portanto, (1, 1) é uma base para a imagem.

Passo 5

A dimensão da imagem é o número de vetores na base da imagem. Como nossa base para a imagem tem apenas um vetor, a dimensão da imagem é 1.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o núcleo de T. O núcleo é o conjunto de todos os vetores (x, y) em R^2 que são mapeados para o vetor zero, ou seja, T(x, y) = (0, 0).

Passo 7

Resolvendo T(x, y) = (0, 0), temos as equações:
x + y = 0 x + y = 0
Essas duas equações são equivalentes, então basta resolver uma delas:
x = -y
Isso significa que todo vetor no núcleo é da forma (y, -y), onde y é um número real.

Passo 8

Para encontrar uma base para o núcleo, identificamos vetores que geram todo o núcleo e são linearmente independentes. Qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como y cdot (1, -1). Portanto, (1, -1) é uma base para o núcleo.

Passo 9

A dimensão do núcleo é o número de vetores na base do núcleo. Como nossa base para o núcleo tem apenas um vetor, a dimensão do núcleo é 1.

Resposta

A base da imagem de T é (1, 1) com dimensão 1. A base do núcleo de T é (1, -1) também com dimensão 1.

Exercícios relacionados