Determine a transformação linear T: R^2 R^2 sabendo
T(1,0)=(2,3), T(0,1)=(5,2)

Passo 1

Beleza, temos um exercício sobre transformação linear. A gente precisa descobrir como a transformação T: R^2 R^2 funciona, sabendo que ela transforma os vetores (1,0) em (2,3) e (0,1) em (5,2) . Para resolver isso, vamos usar a ideia de matrizes que representam transformações lineares e como elas atuam nos vetores da base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer transformação linear de R^2 para R^2 pode ser representada por uma matriz A de tamanho 2 times 2 . Essa matriz transforma um vetor (x, y) da seguinte maneira:
T(x, y) = A x y
Então, nosso objetivo é encontrar a matriz A que realiza essa transformação com base nas informações dadas.

Passo 3

Sabemos como a transformação T age nos vetores (1,0) e (0,1) . Esses vetores formam a base canônica de R^2 , e as imagens deles pela transformação T vão ser as colunas da matriz A . Portanto:
T(1,0) = 2 3 Rightarrow Primeira coluna de A é 2 3 é
T(0,1) = 5 2 Rightarrow Segunda coluna de A é 5 2 é

Passo 4

Com isso, podemos montar a matriz A colocando essas colunas nos lugares correspondentes:
A = 2 & 5 3 & 2

Resposta

A transformação linear T é representada pela matriz:
A = 2 & 5 3 & 2
Portanto, para qualquer vetor (x, y) , a transformação é dada por:
T(x, y) = 2 & 5 3 & 2 x y = (2x + 5y, 3x + 2y)

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