Para cada uma das transformações lineares abaixo, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem.
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+z, x-z, y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x + z, x - z, y) . Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo (ou kernel) e para a imagem (ou imagem linear) dessa transformação, além de determinar as dimensões desses espaços. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, solução de equações e conceitos de imagem e núcleo de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo de T é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) que são mapeados para o vetor zero, ou seja:
T(x, y, z) = (0, 0, 0)
Já a imagem de T é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando T a algum vetor em R^3 .

Passo 3

Vamos começar encontrando o núcleo de T . Para isso, vamos resolver a equação:
T(x, y, z) = (x + z, x - z, y) = (0, 0, 0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
x + z = 0 x - z = 0 y = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação, temos imediatamente y = 0 .
  2. Somando a primeira e a segunda equação: (x + z) + (x - z) = 2x = 0 , então x = 0 .
  3. Substituindo x = 0 na primeira equação: 0 + z = 0 , então z = 0 .
Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero (0, 0, 0) .

Passo 5

Como o núcleo contém apenas o vetor zero, dizemos que a transformação T é injetora (ou seja, não “excelencia” vetores) e que a dimensão do núcleo é 0.

Passo 6

Agora vamos encontrar a imagem de T . A imagem é formada por todos os vetores (x + z, x - z, y) onde x, y, z variam em R .
Podemos escrever isso como:
Im(T) = x + z x - z y , : , x, y, z in R

Passo 7

Para encontrar uma base para a imagem, vamos expressar os vetores da imagem como combinações lineares de vetores independentes. Observando a expressão (x + z, x - z, y) , podemos reescrever isso como:
x 1 1 0 + z 1 -1 0 + y 0 0 1
Isso mostra que qualquer vetor na imagem pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores 1 1 0 , 1 -1 0 e 0 0 1 .

Passo 8

Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se eles forem, então formam uma base para a imagem.
Montando a matriz com esses vetores como colunas:
1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1
Calculando o determinante dessa matriz:
det = 1 cdot (-1) cdot 1 + 1 cdot 0 cdot 0 + 0 cdot 1 cdot 0 - 0 cdot (-1) cdot 0 - 1 cdot 0 cdot 1 - 1 cdot 1 cdot 0 = -1 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para a imagem.

Resposta

Então, resumindo:
  • Base do Núcleo: 0
  • Dimensão do Núcleo: 0
  • Base da Imagem: 1 1 0 , 1 -1 0 , 0 0 1
  • Dimensão da Imagem: 3

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