Para cada uma das transformações lineares abaixo, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar uma base para o núcleo (ou kernel) e para a imagem (ou imagem linear) dessa transformação, além de determinar as dimensões desses espaços. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, solução de equações e conceitos de imagem e núcleo de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo e a imagem de uma transformação linear. O núcleo de é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero, ou seja:
Já a imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor em .
Passo 3
Vamos começar encontrando o núcleo de . Para isso, vamos resolver a equação:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação, temos imediatamente y = 0 .
Somando a primeira e a segunda equação: (x + z) + (x - z) = 2x = 0 , então x = 0 .
Substituindo x = 0 na primeira equação: 0 + z = 0 , então z = 0 .
Portanto, o único vetor no núcleo é o vetor zero (0, 0, 0) .
Passo 5
Como o núcleo contém apenas o vetor zero, dizemos que a transformação T é injetora (ou seja, não “excelencia” vetores) e que a dimensão do núcleo é 0.
Passo 6
Agora vamos encontrar a imagem de T . A imagem é formada por todos os vetores (x + z, x - z, y) onde x, y, z variam em R .
Podemos escrever isso como:
Im(T) = x + z x - z y , : , x, y, z in R
Passo 7
Para encontrar uma base para a imagem, vamos expressar os vetores da imagem como combinações lineares de vetores independentes. Observando a expressão (x + z, x - z, y) , podemos reescrever isso como:
x 1 1 0 + z 1 -1 0 + y 0 0 1
Isso mostra que qualquer vetor na imagem pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores 1 1 0 , 1 -1 0 e 0 0 1 .
Passo 8
Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se eles forem, então formam uma base para a imagem.