Seja T: R^3 R^4 uma transformação linear com
T(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z, 2 x-y+z,-y)
Determine a dimensão de im(T).

Passo 1

Beleza, o enunciado nos apresenta uma transformação linear T: R^3 R^4 definida por T(x, y, z) = (x - y - z, x + y + z, 2x - y + z, -y) . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a dimensão da imagem dessa transformação, ou seja, dim(im(T)). Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, focando principalmente em matrizes e no cálculo de posto (rank) delas.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T por uma matriz. Isso vai facilitar muito para a gente trabalhar e calcular o posto. Lembrando que cada coluna da matriz representa como a transformação age sobre os vetores da base canônica de R^3.

Passo 3

Vamos montar a matriz de T . Observando a função T(x, y, z) , podemos ver que:
T(x, y, z) = x cdot (1, 1, 2, 0) + y cdot (-1, 1, -1, -1) + z cdot (-1, 1, 1, 0)
Então, a matriz de T é formada por esses vetores como colunas:
A = 1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o posto dessa matriz A . O posto é igual à maior quantidade de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Para isso, vamos realizar operações de linha para reduzir a matriz e identificar essas dependências.
Vamos começar com a matriz A :
1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e terceira para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô:
1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 0 & 1 & 3 0 & -1 & 0
Agora, focamos no segundo pivô (segundo elemento da segunda linha, que é 2). Dividimos a segunda linha por 2 para facilitar:
1 & -1 & -1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 3 0 & -1 & 0
Em seguida, subtraímos a segunda linha da terceira e adicionamos a segunda linha à quarta para eliminar os elementos abaixo e acima do pivô:
1 & -1 & -1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 0 & 0 & 1
Por último, subtraímos a quarta linha da terceira para finalizar:
1 & -1 & -1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1
Podemos ver que as três primeiras colunas têm pivôs (números não nulos na diagonal). Portanto, o posto da matriz é 3.

Resposta

A dimensão da imagem de T é 3.

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