Beleza, o enunciado nos apresenta uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a dimensão da imagem dessa transformação, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, focando principalmente em matrizes e no cálculo de posto (rank) delas.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Isso vai facilitar muito para a gente trabalhar e calcular o posto. Lembrando que cada coluna da matriz representa como a transformação age sobre os vetores da base canônica de .
Passo 3
Vamos montar a matriz de . Observando a função , podemos ver que:
Então, a matriz de é formada por esses vetores como colunas:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o posto dessa matriz A . O posto é igual à maior quantidade de colunas (ou linhas) linearmente independentes. Para isso, vamos realizar operações de linha para reduzir a matriz e identificar essas dependências.
Vamos começar com a matriz A :
1 & -1 & -1 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 0 & -1 & 0
Primeiro, subtraímos a primeira linha da segunda e terceira para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô:
1 & -1 & -1 0 & 2 & 2 0 & 1 & 3 0 & -1 & 0
Agora, focamos no segundo pivô (segundo elemento da segunda linha, que é 2). Dividimos a segunda linha por 2 para facilitar:
1 & -1 & -1 0 & 1 & 1 0 & 1 & 3 0 & -1 & 0
Em seguida, subtraímos a segunda linha da terceira e adicionamos a segunda linha à quarta para eliminar os elementos abaixo e acima do pivô:
1 & -1 & -1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 2 0 & 0 & 1
Por último, subtraímos a quarta linha da terceira para finalizar:
1 & -1 & -1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1
Podemos ver que as três primeiras colunas têm pivôs (números não nulos na diagonal). Portanto, o posto da matriz é 3.