Para cada uma das transformações lineares abaixo, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares juntos! A questão pede para a gente encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear definida por . Para isso, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear, e como encontrar suas bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de . O núcleo (ou kernel) é o conjunto de todos os vetores de entrada que são mapeados para o vetor zero. Ou seja, queremos achar todos os que satisfazem .
Passo 3
Vamos resolver as equações resultantes de [T(x, y, z) = (0, 0)):
Da segunda equação, já sabemos que . Assim, e . O valor de não está restrito, então pode ser qualquer número real.
Passo 4
Então, o núcleo é formado por todos os vetores , onde é um número real. Podemos escrever isso como:
Uma base para o núcleo é o conjunto de vetores que gera todo o núcleo. Aqui, basta um vetor que possa gerar qualquer múltiplo de . Então, uma base é:
Passo 5
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base do núcleo. Como temos apenas um vetor na base, a dimensão do núcleo é 1.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de T . A imagem (ou range) é o conjunto de todos os vetores de saída possíveis, ou seja, todos os (x + 2z, z) para x, y, z in R .
Passo 7
Observando a expressão T(x, y, z) = (x + 2z, z) , percebemos que y não aparece nas coordenadas de saída. Portanto, a imagem depende apenas de x e z .
Podemos reescrever os vetores da imagem como combinações lineares de x e z :
(x + 2z, z) = x 1 0 + z 2 1
Isso mostra que a imagem é gerada pelos vetores 1 0 e 2 1 .
Passo 8
Para encontrar uma base da imagem, precisamos verificar se esses vetores são lineares ou não. Observando, vemos que não há nenhum múltiplo escalar que transforme um vetor no outro, ou seja, eles são linearmente independentes.
Então, uma base para a imagem é:
1 0 , 2 1
Passo 9
A dimensão da imagem é o número de vetores na base da imagem. Como temos dois vetores na base, a dimensão da imagem é 2.
Resposta
A base do núcleo de T é 0 1 0 com dimensão 1. A base da imagem de T é 1 0 , 2 1 com dimensão 2.