Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear com T(x, y, z)=(2 x+3 y, y,-2 z).
Escreva a matriz de T na base canônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (2x + 3y, y, -2z) . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação na base canônica. Para isso, vamos precisar saber como as transformações lineares se relacionam com matrizes e como trabalhar com a base canônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a base canônica em R^3 . A base canônica é composta pelos vetores:
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
Esses vetores servem como referência para expressar qualquer vetor no espaço.

Passo 3

Agora, para encontrar a matriz da transformação T , vamos aplicar T a cada um dos vetores da base canônica.
  1. Aplicando T em e1 :
T(e1) = T(1, 0, 0) = (2 cdot 1 + 3 cdot 0, , 0, , -2 cdot 0) = (2, 0, 0)
  1. Aplicando T em e2 :
T(e2) = T(0, 1, 0) = (2 cdot 0 + 3 cdot 1, , 1, , -2 cdot 0) = (3, 1, 0)
  1. Aplicando T em e3 :
T(e3) = T(0, 0, 1) = (2 cdot 0 + 3 cdot 0, , 0, , -2 cdot 1) = (0, 0, -2)

Passo 4

Com os resultados das aplicações, a matriz da transformação T na base canônica é formada colocando os vetores T(e1) , T(e2) e T(e3) como colunas da matriz. Assim, temos:
A = 2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2

Resposta

A matriz de T na base canônica é
2 & 3 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -2

Exercícios relacionados