Seja T: R^3 R^4 uma transformação linear com
T(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z, 2 x-y+z,-y)
Determine a dimensão de nuc(T).

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a pegada desse exercício. A gente tem uma transformação linear T que leva vetores de 3 dimensões ( R^3 ) para 4 dimensões ( R^4 ). A transformação está definida por:
T(x, y, z) = (x - y - z,; x + y + z,; 2x - y + z,; -y)
Nosso objetivo aqui é descobrir a dimensão do núcleo de T , que é representado por nuc(T) . O núcleo, ou espaço nulo, é o conjunto de todos os vetores que T manda para o vetor zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como resolver equações que representam o núcleo de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T , nuc(T) , é o conjunto de todos os vetores (x, y, z) em R^3 que satisfazem T(x, y, z) = 0 , onde 0 é o vetor zero em R^4 .
Então, vamos montar as equações que definem esse núcleo:
x - y - z = 0 x + y + z = 0 2x - y + z = 0 -y = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x , y e z que satisfazem todas elas simultaneamente. Começamos pela última equação, porque ela é a mais simples:
-y = 0 implies y = 0
Então, já sabemos que y = 0 . Vamos substituir esse valor nas outras equações para simplificar:
  1. x - 0 - z = 0 implies x - z = 0
  2. x + 0 + z = 0 implies x + z = 0
  3. 2x - 0 + z = 0 implies 2x + z = 0

Passo 4

Com [y = 0), temos agora um sistema simplificado com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver essas equações passo a passo. Começamos pela primeira equação:
Agora, substituímos (x = z] na segunda equação:
E como , então .

Passo 5

Com x = 0 e y = 0 , vamos verificar a terceira equação para confirmar:
2x + z = 0 implies 2(0) + 0 = 0 implies 0 = 0
Então, todas as equações são satisfeitas com x = 0 , y = 0 e z = 0 .

Resposta

A dimensão do núcleo de T é 0, ou seja, dim(nuc(T)) = 0 .

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