Beleza, vamos entender qual é a pegada desse exercício. A gente tem uma transformação linear que leva vetores de 3 dimensões () para 4 dimensões (). A transformação está definida por:
Nosso objetivo aqui é descobrir a dimensão do núcleo de , que é representado por . O núcleo, ou espaço nulo, é o conjunto de todos os vetores que manda para o vetor zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares e como resolver equações que representam o núcleo de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de , , é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem , onde é o vetor zero em .
Então, vamos montar as equações que definem esse núcleo:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x , y e z que satisfazem todas elas simultaneamente. Começamos pela última equação, porque ela é a mais simples:
-y = 0 implies y = 0
Então, já sabemos que y = 0 . Vamos substituir esse valor nas outras equações para simplificar:
x - 0 - z = 0 implies x - z = 0
x + 0 + z = 0 implies x + z = 0
2x - 0 + z = 0 implies 2x + z = 0
Passo 4
Com [y = 0), temos agora um sistema simplificado com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver essas equações passo a passo. Começamos pela primeira equação:
Agora, substituímos (x = z] na segunda equação:
E como , então .
Passo 5
Com x = 0 e y = 0 , vamos verificar a terceira equação para confirmar:
2x + z = 0 implies 2(0) + 0 = 0 implies 0 = 0
Então, todas as equações são satisfeitas com x = 0 , y = 0 e z = 0 .
Resposta
A dimensão do núcleo de T é 0, ou seja, dim(nuc(T)) = 0 .