Para cada uma das transformações lineares
dadas, encontra uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de
definida por
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Precisamos encontrar uma base e a dimensão de
(o núcleo) e de
(a imagem). Vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de vetores que são levados ao zero e a definição de imagem como o espaço gerado pelos vetores-imagem de uma base de
.
Passo 2
Para achar
isto é, o sistema
Da primeira equação segue . Logo todo vetor do núcleo tem a forma
Passo 3
Como todo vetor em
é múltiplo de
, vemos que
e, portanto,
Passo 4
Para a imagem, calculamos
em vetores da base canônica de
:
Os três vetores
,
e
geram
porque já contêm uma base canônica.
Passo 5
Portanto
e podemos escolher como base, por exemplo,
Logo
Resposta
Base de
:
.
.
Base de
:
.
.