Para cada uma das transformações lineares F dadas, encontra uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de F
F: R^3 R^2 definida por F(x, y, z)=(x+y, y+z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Fcolon R^3 to R^2
definida por
F(x,y,z) = (x+y,;y+z)
Precisamos encontrar uma base e a dimensão de ker F (o núcleo) e de imF (a imagem). Vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de vetores que são levados ao zero e a definição de imagem como o espaço gerado pelos vetores-imagem de uma base de R^3.

Passo 2

Para achar
isto é, o sistema
Da primeira equação segue . Logo todo vetor do núcleo tem a forma

Passo 3

Como todo vetor em ker F é múltiplo de (-1,1,-1), vemos que
ker F = span(-1,1,-1)
e, portanto,
dim(ker F) = 1

Passo 4

Para a imagem, calculamos F em vetores da base canônica de R^3:
F(e1) = F(1,0,0) = (1,0), F(e2) = F(0,1,0) = (1,1), F(e3) = F(0,0,1) = (0,1)
Os três vetores (1,0), (1,1) e (0,1) geram R^2 porque já contêm uma base canônica.

Passo 5

Portanto
imF = R^2
e podemos escolher como base, por exemplo,
(1,0),,(0,1)
Logo
dim(imF) = 2

Resposta

Base de ker F: (-1,1,-1).
dim(ker F)=1.
Base de imF: (1,0),(0,1).
dim(imF)=2.

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