Sejam F: R^2 R^2 definida por F(x, y)=(3 x+5 y, 2 x+3 y) e S^1 subset R^2 o círcilo unitário. ( S^1 consiste nos pontos satisfazendo x^2+y^2=1.) Encontre a imagem F(S^1) e a pré-imagem F^-1(S^1).

Passo 1

O enunciado descreve a aplicação linear
F(x,y) = (3x+5y,;2x+3y)
e o círculo unitário
S^1 = (x,y)inR^2 : x^2+y^2=1
Queremos (a) a imagem F(S^1), que será uma elipse no plano de chegada, e (b) a pré-imagem
F^-1(S^1)=(x,y)inR^2 : F(x,y)in S^1,
que também será uma elipse no domínio. Para isso usaremos (i) parametrização do círculo unitário e (ii) a forma quadrática associada a F.

Passo 2

Parametrizamos S^1 por
(x,y) = (cos t,;sin t), tin[0,2pi]
Então cada ponto da imagem é
F(cos t,sin t) = l(3cos t+5sin t,;2cos t+3sin tr)
Logo
F(S^1) =l(u,v)inR^2 : u=3cos t+5sin t,;v=2cos t+3sin t,;tin[0,2pi]r,
que é uma elipse centrada na origem.

Passo 3

Para escrever a equação cartesiana dessa elipse, note que
Invertendo,
pois . Como , obtemos
Portanto

Passo 4

Para a pré-imagem, queremos
F(x,y)in S^1 Long<=ftrightarrow (3x+5y)^2+(2x+3y)^2=1
Expandindo,
(3x+5y)^2+(2x+3y)^2 =9x^2+30xy+25y^2 +4x^2+12xy+9y^2 =13x^2+42xy+34y^2
Logo
F^-1(S^1) =(x,y)inR^2 : 13x^2+42xy+34y^2=1,
que é uma elipse centrada na origem no domínio.

Resposta

F(S^1)=(u,v)inR^2 : 13u^2-42uv+34v^2=1
F^-1(S^1)=(x,y)inR^2 : 13x^2+42xy+34y^2=1

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