Sejam
definida por
e
o círcilo unitário. (
consiste nos pontos satisfazendo
.) Encontre a imagem
e a pré-imagem
.
Passo 1
O enunciado descreve a aplicação linear
e o círculo unitário
Queremos (a) a imagem
, que será uma elipse no plano de chegada, e (b) a pré-imagem
que também será uma elipse no domínio. Para isso usaremos (i) parametrização do círculo unitário e (ii) a forma quadrática associada a
.
Passo 2
Parametrizamos
por
Então cada ponto da imagem é
Logo
que é uma elipse centrada na origem.
Passo 3
Para escrever a equação cartesiana dessa elipse, note que
Invertendo,
pois
. Como
, obtemos
Portanto
Passo 4
Para a pré-imagem, queremos
Expandindo,
Logo
que é uma elipse centrada na origem no domínio.