Para cada uma das transformações lineares dos itens (I), (II) e (III) abaixo, determine:
(I) T: R^2 R^3 ; T(x, y)=(x-y, 2 x+y,-2 x)
(II) T: V R^3 ; T([lla & b c & d])=(a+b, c-d, 2 a)
(III) T: P2 R^3 ; T(a x^2+b x+c)=(b, a+c, 2 a-b)
a) O núcleo, uma de suas bases assim como a sua dimensão.
b) A imagem, uma de suas bases assim como a sua dimensão.
c) Responder se essas transformações são injetoras e/ou sobrejetoras e justificar.
d) Verificar se alguma das transformações abaixo é um isomorfismo e justificar

Passo 1

O enunciado pede para cada transformação linear T encontrar
1. o núcleo ker T (solvendo T(v)=0), sua base e dimensão;
2. a imagem Im T (como span de vetores), sua base e dimensão;
3. se T é injetora (kernel trivial) e/ou sobrejetora (imagem = espaço-alvo);
4. por fim, verificar qual(is) das transformações é(são) isomorfismo(s).
Vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem ( dimker T+dimIm T=dimdomínioí) e resolver sistemas lineares para o núcleo e identificar vetores geradores para a imagem.

Passo 2

(i) dada por
a) Núcleo: implica
logo , dimensão zero e base vazia.
b) Imagem: escrevemos
então
Esses dois vetores são LI (checa-se que força ), logo e uma base é .
c) Como , é injetora. Mas , não é sobrejetora.

Passo 3

(ii) , onde é o espaço de matrizes , definida por
a) Núcleo:
então
dimensão .
b) Domínio tem dimensão , pela fórmula do núcleo e imagem
Como e , segue . Uma base padrão é, por exemplo, .
c) não injetora. sobrejetora.

Passo 4

(iii) Tcolon P2toR^3 em que
T(ax^2+bx+c)=(,b,;a+c,;2a-b)
a) Núcleo: b=0, a+c=0, 2a-b=0 b=0, 2a=0Rightarrow a=0, c=0. Logo ker T=0, dimensão 0.
b) Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, dim P2=3 implica
dimIm T=3-0=3
Como Im TsubseteqR^3 e tem dimensão 3, conclui-se Im T=R^3. Base padrão em R^3 serve.
c) ker T=0 Rightarrow injetora; Im T=R^3 Rightarrow sobrejetora.

Passo 5

Uma transformação linear é isomorfismo se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Dos três casos, apenas em (iii) T é injetora e sobrejetora, então só (III) é um isomorfismo.

Resposta

(I)
a) , , base vazia.
b) , , base .
c) injetora, não sobrejetora.
(II)
a) , .
b) , , base padrão de .
c) não injetora, sobrejetora.
(III)
a) , .
b) , , base padrão de .
c) injetora e sobrejetora.
(d) Apenas a transformação (III) é isomorfismo.

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