Para cada uma das transformações lineares dos itens (I), (II) e (III) abaixo, determine:
(I)
(II)
(III)
a) O núcleo, uma de suas bases assim como a sua dimensão.
b) A imagem, uma de suas bases assim como a sua dimensão.
c) Responder se essas transformações são injetoras e/ou sobrejetoras e justificar.
d) Verificar se alguma das transformações abaixo é um isomorfismo e justificar
(I)
(II)
(III)
a) O núcleo, uma de suas bases assim como a sua dimensão.
b) A imagem, uma de suas bases assim como a sua dimensão.
c) Responder se essas transformações são injetoras e/ou sobrejetoras e justificar.
d) Verificar se alguma das transformações abaixo é um isomorfismo e justificar
Passo 1
O enunciado pede para cada transformação linear
encontrar
. o núcleo
(solvendo
), sua base e dimensão;
. a imagem
(como span de vetores), sua base e dimensão;
. se
é injetora (kernel trivial) e/ou sobrejetora (imagem
espaço-alvo);
. por fim, verificar qual(is) das transformações é(são) isomorfismo(s).
Vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem ( ) e resolver sistemas lineares para o núcleo e identificar vetores geradores para a imagem.
Vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem (
Passo 2
(i)
dada por
a) Núcleo:
implica
logo
, dimensão zero e base vazia.
b) Imagem: escrevemos
b) Imagem: escrevemos
então
Esses dois vetores são LI (checa-se que
força
), logo
e uma base é
.
c) Como ,
é injetora. Mas
, não é sobrejetora.
c) Como
Passo 3
(ii)
, onde
é o espaço de matrizes
, definida por
a) Núcleo:
então
dimensão
.
b) Domínio tem dimensão , pela fórmula do núcleo e imagem
b) Domínio tem dimensão
Como
e
, segue
. Uma base padrão é, por exemplo,
.
c) não injetora.
sobrejetora.
c)
Passo 4
(iii)
em que
a) Núcleo:
dá
. Logo
, dimensão
.
b) Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, implica
b) Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem,
Como
e tem dimensão
, conclui-se
. Base padrão em
serve.
c) injetora;
sobrejetora.
c)
Passo 5
Uma transformação linear é isomorfismo se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Dos três casos, apenas em (iii)
é injetora e sobrejetora, então só (III) é um isomorfismo.
Resposta
(I)
a) ,
, base vazia.
b) , , base
.
c) injetora, não sobrejetora.
a)
b) ,
c) injetora, não sobrejetora.
(II)
a) , .
b) ,
, base padrão de
.
c) não injetora, sobrejetora.
a) ,
b)
c) não injetora, sobrejetora.
(III)
a) ,
.
b) ,
, base padrão de
.
c) injetora e sobrejetora.
a)
b)
c) injetora e sobrejetora.
(d) Apenas a transformação (III) é isomorfismo.