Consideremos a aplicação matricial onde . Ache uma base e a dimensão: a) da imagem de A ; b) do núcleo de A.
Passo 1
O enunciado nos dá uma aplicação linear Acolon R^4toR^3 representada pela matriz
A= 1 & 2 & 3 & 1 1 & 3 & 5 & -2 3 & 8 & 13 & -3
Precisamos encontrar uma base e a dimensão de Im(A) e de ker(A). Para isso vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto (rank) de A e, em seguida, resolver o sistema homogêneo A x=0.
Passo 2
Aplicando eliminação na matriz aumentada de (sem coluna de termos independentes), temos
Dessa forma, vemos pivôs nas colunas 1 e 2, logo .
Passo 3
As colunas-pivô na forma escalonada correspondem às colunas 1 e 2 da matriz original. Podemos tomar como base de Im(A) os vetores coluna
v1=113, v2=238
Portanto
diml(Im(A)r)=2
Passo 4
Para encontrar
Escolhemos como variáveis livres. Da segunda equação
e da primeira
Logo o vetor fica
Assim obtemos uma base do núcleo e a dimensão é igual ao número de parâmetros livres.