Consideremos a aplicação matricial A: R^4 R^3 onde A=(cccc1 & 2 & 3 & 1 1 & 3 & 5 & -2 3 & 8 & 13 & -3). Ache uma base e a dimensão: a) da imagem de A ; b) do núcleo de A.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação linear Acolon R^4toR^3 representada pela matriz
A= 1 & 2 & 3 & 1 1 & 3 & 5 & -2 3 & 8 & 13 & -3
Precisamos encontrar uma base e a dimensão de Im(A) e de ker(A). Para isso vamos usar eliminação de Gauss para achar o posto (rank) de A e, em seguida, resolver o sistema homogêneo A x=0.

Passo 2

Aplicando eliminação na matriz aumentada de (sem coluna de termos independentes), temos
Dessa forma, vemos pivôs nas colunas 1 e 2, logo .

Passo 3

As colunas-pivô na forma escalonada correspondem às colunas 1 e 2 da matriz original. Podemos tomar como base de Im(A) os vetores coluna
v1=113, v2=238
Portanto
diml(Im(A)r)=2

Passo 4

Para encontrar
Escolhemos como variáveis livres. Da segunda equação
e da primeira
Logo o vetor fica
Assim obtemos uma base do núcleo e a dimensão é igual ao número de parâmetros livres.

Resposta

Base l(Im(A)r)=l,(1,1,3)^T,,(2,3,8)^Tr, diml(Im(A)r)=2.
Base l(ker(A)r)=l,(1,-2,1,0)^T,;(-7,3,0,1)^Tr, diml(ker(A)r)=2.

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