Seja um triang<= A B C eqüilátero, no qual A(2,1) e B(-2,4). Determine o vértice C, sabendo que o mesmo pertence ao 1^circ quadrante.

Passo 1

O enunciado diz que ABC é um triângulo equilátero com A(2,1) e B(-2,4), e que o vértice C está no primeiro quadrante (ou seja, x>0 e y>0). Para encontrar C vamos usar a ideia de girar o vetor AB em pm60^circ, pois em um triângulo equilátero cada lado difere do outro por uma rotação de 60^circ.

Passo 2

Calculemos o vetor de A para B:
AB = B - A = (-2,4) - (2,1) = (-4,3)

Passo 3

A rotação de um vetor (x,y) por um ângulo theta no plano é dada por
(xcostheta - ysintheta,; xsintheta + ycostheta)
Para formar o triângulo equilátero, giramos AB por -60^circ (esse giro nos dá o vértice no primeiro quadrante). Como cos(-60^circ)=tfrac12 e sin(-60^circ)=-tfracraiz32, temos
AB!-60^circ =l(-4cdottfrac12 - 3cdot(-tfracraiz32),;-4cdot(-tfracraiz32) + 3cdottfrac12r) =l(-2 + tfrac3raiz32,;2raiz3 + tfrac32r)

Passo 4

O ponto C é A mais esse vetor girado:
C = A + AB!-60^circ =l(2 + l(-2 + tfrac3raiz32r),;1 + l(2raiz3 + tfrac32r)r) =l(tfrac3raiz32,;tfrac52 + 2raiz3r)
Verifique-se que ambas as coordenadas são positivas, confirmando que C está no primeiro quadrante.

Resposta

Cl(tfrac3raiz32,,tfrac5+4raiz32r)

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