Para cada uma das transformações lineares
dadas, determine o seu Núcleo e Imagem. Em seguida, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
definida por
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
O que precisamos encontrar é o núcleo (kernel) de
– isto é, o conjunto de
que vão em
– e a imagem (range) de
– isto é, os vetores em
que são alcançados por algum
. Em seguida, daremos bases e calcularemos dimensões de cada subespaço.
Passo 2
Para achar o núcleo, impomos
Da primeira equação vem
e da segunda vem
. Logo
Isto mostra que
é uma reta em
.
Uma base é
Uma base é
e a dimensão é
.
Passo 3
Para a imagem, basta ver quais vetores em
podemos gerar. Uma forma rápida é notar que dados quaisquer
podemos escolher
e então
Isso mostra que todo
está na imagem, ou seja
Uma base canônica é
e a dimensão é
.
Resposta
Núcleo:
,
.
Imagem: ,
.
Imagem: