Para cada uma das transformações lineares T dadas, determine o seu Núcleo e Imagem. Em seguida, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+y, y+z).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T:R^3toR^2, T(x,y,z)=(x+y,;y+z)
O que precisamos encontrar é o núcleo (kernel) de T – isto é, o conjunto de (x,y,z) que vão em (0,0) – e a imagem (range) de T – isto é, os vetores em R^2 que são alcançados por algum (x,y,z). Em seguida, daremos bases e calcularemos dimensões de cada subespaço.

Passo 2

Para achar o núcleo, impomos
T(x,y,z)=(0,0) iff x+y=0, y+z=0
Da primeira equação vem x=-y e da segunda vem z=-y. Logo
(x,y,z) = l(-y,;y,;-yr) = yl(-1,1,-1r), yinR
Isto mostra que
ker T = l,y(-1,1,-1)mid yinRr
é uma reta em R^3.
Uma base é
(-1,1,-1),
e a dimensão é dimker T=1.

Passo 3

Para a imagem, basta ver quais vetores em R^2 podemos gerar. Uma forma rápida é notar que dados quaisquer (u,v)inR^2 podemos escolher
x=u, y=0, z=v
e então
T(u,0,v) = (u+0,;0+v) = (u,v)
Isso mostra que todo (u,v) está na imagem, ou seja
Im,T = R^2
Uma base canônica é
(1,0),;(0,1),
e a dimensão é dimIm,T = 2.

Resposta

Núcleo: ker T = span(-1,1,-1), dimker T = 1.
Imagem: Im,T = R^2 = span(1,0),(0,1), dimIm,T = 2.

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