Dê, quando possível, exemplos de transformações lineares T, S, L, M e H satisfazendo:
M: R^2 R^2 com N(M)=(x, y) in R^2 mid x=y.

Passo 1

O enunciado pede para construir uma transformação linear
;M:R^2toR^2
cujo núcleo seja
;N(M)=(x,y)inR^2mid x=y
Aqui o conteúdo é Espaços Vetoriais e Transformações Lineares, especialmente Núcleo e Imagem e o Teorema da Dimensão (Rank–Nullity). Como a reta x=y tem dimensão 1, devemos ter dim N(M)=1 e, pelo Teorema da Dimensão, rank(M)=1.

Passo 2

Identificamos uma base para o núcleo. A condição x=y equivale a
(x,y)=t,(1,1), tinR
Logo (1,1) é base de N(M) e dim N(M)=1.

Passo 3

Para anular exatamente os vetores de N(M), escolhemos um vetor linha ortogonal a (1,1). Um exemplo é
(1,-1),
pois
(1,-1)cdot(1,1)=1-1=0

Passo 4

Definimos por multiplicação à esquerda por uma matriz cuja primeira linha seja (que força no núcleo) e cuja segunda linha seja zero (para que o posto seja 1):

Passo 5

Verificamos o núcleo:
M(x,y)= (x-y,0) = (0,0) ;Long<=ftrightarrow; x-y=0 ;Long<=ftrightarrow; x=y,
logo N(M)=(x,y)mid x=y, como desejado.

Resposta

Uma escolha válida é
M(x,y) = (,x - y,;0,),
isto é, a matriz
1 & -1 0 & 0

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