Dê, quando possível, exemplos de transformações lineares T, S, L, M e H satisfazendo:
H: R^3 R^3 com N(H)=(x, y, z) in R^3 mid z=-x

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de transformação linear
H: R^3to R^3
cujo núcleo
N(H)=(x,y,z)in R^3mid z=-x.
Para construir H, vamos usar que
N(H)=ker A
onde A é a matriz de H. Precisamos de uma única equação linear em (x,y,z) que imponha z=-x.

Passo 2

A condição equivale a
Logo, podemos escolher como primeira linha de o vetor , de modo que
Bastará que as demais linhas de sejam nulas, garantindo e .

Passo 3

Definimos por
Então
Verificamos que
o que era desejado.

Resposta

Uma escolha conveniente é
H(x,y,z) = (,x+z,;0,;0,),
cuja matriz no padrão canônico é
1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ,
e de fato ker H=(x,y,z)mid z=-x.

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