Encontre a transformação linear T(a, b) definida como T: R^2 R^2 sabendo que T(1,2)= (3,-1) e T(0,1)=(2,1).

Passo 1

Resumindo: queremos achar uma transformação linear T:R^2toR^2 tal que
T(1,2) = (3,-1) e T(0,1) = (2,1)
O conteúdo aqui é usar linearidade e coordenadas numa base bem escolhida para determinar a fórmula geral de T(a,b).

Passo 2

Primeiro, notamos que os vetores v1=(1,2) e v2=(0,1) são linearmente independentes em R^2, pois
det1 & 02 & 1 = 1neq0,
logo v1,v2 é uma base de R^2.

Passo 3

Para qualquer (a,b)inR^2, escrevemos
(a,b) = x,v1 + y,v2 = x,(1,2) + y,(0,1)
Igualando coordenadas, x = a e 2a + y = b, portanto
x = a, y = b - 2a

Passo 4

Como T é linear, tem-se
T(a,b) = Tl(x,v1 + y,v2r) = x,T(v1) + y,T(v2) = a,(3,-1) + (b - 2a),(2,1)

Passo 5

Fazendo as contas em cada componente:
T(a,b) = l(3a + 2(b - 2a),,-a + (b - 2a)r) = l(-a + 2b,,-3a + br)

Resposta

T(a,b) = l(-a + 2b,,-3a + br),
ou seja, sua matriz na base canônica é
-1 & 2 -3 & 1

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