Verifique se as aplicações dadas são Transformações Lineares. Em caso negativo, identifique qual(is) condições não são satisfeitas:
definida como
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
é uma transformação linear. Vamos usar a definição de linearidade: uma aplicação é linear se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar (e, em particular, envia o vetor zero em zero).
Passo 2
Recordando a definição,
é linear se, para todo
e todo escalar
, valem simultaneamente
Um corolário imediato é que deve ocorrer
Passo 3
Verificamos a imagem do vetor zero:
Como não satisfaz
, já falha a condição necessária para ser linear.
Passo 4
Mesmo sem esse teste, podemos ver diretamente o fracasso da aditividade. Dados
temos
enquanto
Observamos que o primeiro componente difere em
unidade, logo
.
Passo 5
Para completar, conferimos a homogeneidade. Para escalar
e vetor
,
enquanto
O termo constante faz com que
sempre que
. Logo
.
Passo 6
Concluímos que
não satisfaz nenhuma das condições de transformação linear: não envia o zero em zero, não preserva soma nem multiplicação por escalar.
Resposta
A aplicação não é linear; falha tanto a aditividade
quanto a homogeneidade
(e, consequentemente,
).