Verifique se as aplicações dadas são Transformações Lineares. Em caso negativo, identifique qual(is) condições não são satisfeitas:
T: R^3 R^2 definida como T(x, y, z)=(x+1, y+z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^3to R^2, T(x,y,z)=(x+1,;y+z)
é uma transformação linear. Vamos usar a definição de linearidade: uma aplicação é linear se preserva soma de vetores e multiplicação por escalar (e, em particular, envia o vetor zero em zero).

Passo 2

Recordando a definição, T é linear se, para todo u,vinR^3 e todo escalar alpha, valem simultaneamente
(i) T(u+v)=T(u)+T(v), (ii) T(alpha u)=alpha,T(u)
Um corolário imediato é que deve ocorrer
T(0,0,0)=(0,0)

Passo 3

Verificamos a imagem do vetor zero:
T(0,0,0)=(0+1,;0+0)=(1,0)neq(0,0)
Como não satisfaz T(0)=0, já falha a condição necessária para ser linear.

Passo 4

Mesmo sem esse teste, podemos ver diretamente o fracasso da aditividade. Dados
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2),
temos
T(u+v)=T(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2) =(x1+x2+1,;y1+y2+z1+z2),
enquanto
T(u)+T(v)=(x1+1,;y1+z1)+(x2+1,;y2+z2) =(x1+x2+2,;y1+y2+z1+z2)
Observamos que o primeiro componente difere em 1 unidade, logo
;T(u+v)neq T(u)+T(v).

Passo 5

Para completar, conferimos a homogeneidade. Para escalar alpha e vetor u=(x,y,z),
T(alpha u)=T(alpha x,alpha y,alpha z) =(alpha x+1,;alpha y+alpha z),
enquanto
alpha,T(u)=alpha,(x+1,;y+z) =(alpha x+alpha,;alpha y+alpha z)
O termo constante faz com que alpha x+1neqalpha x+alpha sempre que alphaneq1. Logo
;T(alpha u)neq alpha,T(u).

Passo 6

Concluímos que T não satisfaz nenhuma das condições de transformação linear: não envia o zero em zero, não preserva soma nem multiplicação por escalar.

Resposta

A aplicação não é linear; falha tanto a aditividade T(u+v)=T(u)+T(v) quanto a homogeneidade T(alpha u)=alpha,T(u) (e, consequentemente, T(0)neq0).

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