Para cada uma das transformações lineares T dadas, determine o seu Núcleo e Imagem. Em seguida, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
dada por
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Precisamos encontrar o núcleo
e a imagem
, e em seguida suas bases e dimensões.
Passo 2
Para achar
, resolvemos
Isso equivale ao sistema
Passo 3
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda,
implica
. Logo
Uma base de
é o conjunto vazio (ou seja, só o vetor zero), e
Passo 4
Para determinar
, observamos as imagens dos vetores da base canônica de
:
Assim
Passo 5
Verificamos se
e
geram todo
. A matriz cujas colunas são esses vetores tem determinante
logo são linearmente independentes e geram
. Portanto
uma base é
e
Resposta
O núcleo é
, com base trivial e
.
A imagem é , com base
e
.
A imagem é