Para cada uma das transformações lineares T dadas, determine o seu Núcleo e Imagem. Em seguida, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y)=(2 x, x+y).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} \quad\text{por}\quad T(x,y) = (2x,\;x+y).
Precisamos encontrar o núcleo \ker(T) e a imagem \operatorname{Im}(T), e em seguida suas bases e dimensões.

Passo 2

Para achar \ker(T), resolvemos
T(x,y) = (2x,\;x+y) = (0,0).
Isso equivale ao sistema
\begin{cases} 2x = 0,\\\ x + y = 0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação vem x=0. Substituindo na segunda, 0 + y = 0 implica y=0. Logo
\ker(T) = \{(0,0)\}.
Uma base de \ker(T) é o conjunto vazio (ou seja, só o vetor zero), e
\dim\bigl(\ker(T)\bigr) = 0.

Passo 4

Para determinar \operatorname{Im}(T), observamos as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2:
T(1,0) = (2,1), \quad T(0,1) = (0,1).
Assim
\operatorname{Im}(T) = \operatorname{span}\{(2,1),\,(0,1)\}.

Passo 5

Verificamos se (2,1) e (0,1) geram todo \mathbb{R}^2. A matriz cujas colunas são esses vetores tem determinante
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = 2\cdot1 - 0\cdot1 = 2 \neq 0,
logo são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^2. Portanto
\operatorname{Im}(T) = \mathbb{R}^2,
uma base é \{(2,1),\,(0,1)\} e
\dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr) = 2.

Resposta

O núcleo é \ker(T)=\{(0,0)\}, com base trivial e \dim(\ker(T))=0.
A imagem é \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2, com base \{(2,1),(0,1)\} e \dim(\operatorname{Im}(T))=2.

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