Para cada uma das transformações lineares T dadas, determine o seu Núcleo e Imagem. Em seguida, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem:
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 2 x+5 y-4 z, x+4 y+z).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por
T(x,y,z)=(x+2y-3z,\;2x+5y-4z,\;x+4y+z)
Queremos determinar o núcleo \mathrm{Ker}(T) e a imagem \mathrm{Im}(T), além de uma base e a dimensão de cada um.

Passo 2

Para analisar T, escrevemos sua matriz A na base canônica. As colunas de A são T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}), ou seja,
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\\\ 2 & 5 & -4 \\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}

Passo 3

O núcleo é o conjunto de soluções de A\,(x,y,z)^{\mathsf T}=0. Aplicando eliminação de Gauss em
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\\\ 2 & 5 & -4 \\\\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \;\to\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \;\to\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
da segunda linha vem y+2z=0, logo y=-2z. Substituindo na primeira, x+2(-2z)-3z=0 x-7z=0, ou seja x=7z.

Passo 4

As soluções genéricas são
(x,y,z)=(7z,\,-2z,\,z)=z\,(7,-2,1)
Logo
\mathrm{Ker}(T)=\mathrm{span}\{(7,-2,1)\}
e
\dim(\mathrm{Ker}(T))=1

Passo 5

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de A. Como na eliminação as colunas pivô são a primeira e a segunda, segue que
\mathrm{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,2,1),\,(2,5,4)\}
e
\dim(\mathrm{Im}(T))=2

Resposta

\mathrm{Ker}(T)=\mathrm{span}\{(7,-2,1)\},\;\dim(\mathrm{Ker}(T))=1
\mathrm{Im}(T)=\mathrm{span}\{(1,2,1),(2,5,4)\},\;\dim(\mathrm{Im}(T))=2

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