Para cada uma das transformações lineares T dadas, determine o seu Núcleo e Imagem. Em seguida, determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem: T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 2 x+5 y-4 z, x+4 y+z).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por
T(x,y,z)=(x+2y-3z,\;2x+5y-4z,\;x+4y+z)
Queremos determinar o núcleo \mathrm{Ker}(T) e a imagem \mathrm{Im}(T), além de uma base e a dimensão de cada um.
Passo 2
Para analisar T, escrevemos sua matriz A na base canônica. As colunas de A são T(e_{1}),T(e_{2}),T(e_{3}), ou seja,