Dado o polinômio f(x)=2 x^{2}-2 x+2 e o resto r(x)=7 x+2. Determine g(x) tal que f(x) = g(x)q(x) + r(x)

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
f(x)=2x^{2}-2x+2
e o resto
r(x)=7x+2
e pede um polinômio g(x) e um quociente q(x) tais que
f(x)=g(x)\,q(x)+r(x).
Pelo Algoritmo da Divisão de polinômios, vale
\deg r<\deg g \quad\text{e}\quad \deg f=\deg g+\deg q.

Passo 2

Como \deg f=2 e \deg r=1, devemos ter \deg g>1. A única possibilidade compatível é
\deg g=2 \quad\text{e}\quad \deg q=0,
isto é, q(x) é uma constante k\neq0.

Passo 3

Escrevendo
f(x)=k\,g(x)+r(x)
temos
k\,g(x)=f(x)-r(x) = \bigl(2x^2-2x+2\bigr)-\bigl(7x+2\bigr) =2x^2-9x.

Passo 4

Logo
g(x)=\frac{2x^2-9x}{k} =\frac{2}{k}x^2-\frac{9}{k}x.
Para escolher g(x) monico (coeficiente de x^2 igual a 1), basta tomar k=2. Então
g(x) =\frac{2x^2-9x}{2} =x^2-\frac{9}{2}x,
e o quociente é q(x)=2.

Resposta

g(x)=x^2-\frac{9}{2}x.

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