Mostre que, se u_{1} \perp v e u_{2} \perp v, então \left(u_{1}+u_{2}\right) \perp v.

Passo 1

O enunciado considera vetores u_{1},u_{2},v em um espaço com produto interno e diz que u_{1}\perp v e u_{2}\perp v. O objetivo é mostrar que o vetor soma u_{1}+u_{2} também é ortogonal a v. Para isso vamos usar a definição de ortogonalidade e a linearidade do produto interno.

Passo 2

Lembramos que, por definição, dois vetores a e b são ortogonais se, e somente se,
\langle a,b\rangle = 0.
Aqui \langle\cdot,\cdot\rangle denota o produto interno.

Passo 3

Usamos a propriedade de linearidade do produto interno na primeira coordenada. Para quaisquer vetores x,y,z vale
\langle x+y,\,z\rangle = \langle x,\,z\rangle + \langle y,\,z\rangle.
Aplicando isso a x=u_{1}, y=u_{2} e z=v, obtemos
\langle u_{1}+u_{2},\,v\rangle =\langle u_{1},\,v\rangle + \langle u_{2},\,v\rangle.

Passo 4

Como u_{1}\perp v e u_{2}\perp v, sabemos que
\langle u_{1},\,v\rangle = 0 \quad\text{e}\quad \langle u_{2},\,v\rangle = 0.
Logo
\langle u_{1}+u_{2},\,v\rangle =0+0 =0.

Resposta

Portanto, pelo critério de ortogonalidade, \langle u_{1}+u_{2},v\rangle=0 implica
\bigl(u_{1}+u_{2}\bigr)\perp v,
concluindo a demonstração.

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