Mostre que, se
e
, então
.
Passo 1
O enunciado considera vetores
em um espaço com produto interno e diz que
e
. O objetivo é mostrar que o vetor soma
também é ortogonal a
. Para isso vamos usar a definição de ortogonalidade e a linearidade do produto interno.
Passo 2
Lembramos que, por definição, dois vetores
e
são ortogonais se, e somente se,
Aqui
denota o produto interno.
Passo 3
Usamos a propriedade de linearidade do produto interno na primeira coordenada. Para quaisquer vetores
vale
Aplicando isso a
,
e
, obtemos
Passo 4
Como
e
, sabemos que
Logo
Resposta
Portanto, pelo critério de ortogonalidade,
implica
concluindo a demonstração.