Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
, definida por
Passo 1
O enunciado dá a transformação
e pede para verificar se ela é linear. O conteúdo envolve a definição de transformação linear, que exige aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Recordando a definição,
é linear se, para todos
e todo escalar
, valem
e
Passo 3
Basta encontrar um contraexemplo. Seja
Então
enquanto
Se fosse linear, teríamos
, mas na prática
. Isso já mostra que a homogeneidade falha.
Resposta
A transformação não é linear, pois não satisfaz a propriedade de homogeneidade.