Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, definida por T(x, y)=\sin (x+y)

Passo 1

O enunciado dá a transformação
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\quad T(x,y)=\sin(x+y),
e pede para verificar se ela é linear. O conteúdo envolve a definição de transformação linear, que exige aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Recordando a definição, T é linear se, para todos u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar c, valem
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 3

Basta encontrar um contraexemplo. Seja
u=\bigl(\tfrac{\pi}{2},0\bigr) \quad\text{e}\quad c=2.
Então
T(u)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+0\bigr)=1
enquanto
T(2u)=T(\pi,0)=\sin(\pi)=0.
Se fosse linear, teríamos T(2u)=2\,T(u)=2, mas na prática 0\neq2. Isso já mostra que a homogeneidade falha.

Resposta

A transformação não é linear, pois não satisfaz a propriedade de homogeneidade.

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