Obtenha o vetor gradiente e a matriz hessiana das funções:
Passo 1
O enunciado pede o vetor gradiente e a matriz hessiana da função de duas variáveis
Para isso, vamos usar definição de derivadas parciais: primeiro encontramos
e
(para o gradiente) e depois derivamos novamente essas componentes em relação a
e
(para a hessiana).
Passo 2
Calcular
. Mantendo
constante e derivando
temos
Passo 3
Calcular
. Agora
é constante e a derivada de
é
, logo
Assim, o gradiente é o vetor
]
Passo 4
Calcular a segunda derivada
. Derivamos
em relação a
:
Passo 5
Calcular as derivadas mistas. Primeiro
Pela igualdade das derivadas mistas (teorema de Schwarz),
Passo 6
Calcular
. Derivando
em relação a
(onde não aparece
) obtemos
Resposta
Gradiente:
Hessiana:
]