Obtenha o vetor gradiente e a matriz hessiana das funções:
f(x)=x_{2} e^{0,5 x_{1}}

Passo 1

O enunciado pede o vetor gradiente e a matriz hessiana da função de duas variáveis
f(x)=x_{2}e^{0,5x_{1}}.
Para isso, vamos usar definição de derivadas parciais: primeiro encontramos \partial f/\partial x_{1} e \partial f/\partial x_{2} (para o gradiente) e depois derivamos novamente essas componentes em relação a x_{1} e x_{2} (para a hessiana).

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{1}}. Mantendo x_{2} constante e derivando e^{0,5x_{1}} temos
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = x_{2}\cdot\frac{d}{dx_{1}}\bigl(e^{0,5x_{1}}\bigr) = x_{2}\cdot\bigl(0,5\,e^{0,5x_{1}}\bigr) =0,5\,x_{2}\,e^{0,5x_{1}}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_{2}}. Agora x_{1} é constante e a derivada de x_{2} é 1, logo
\frac{\partial f}{\partial x_{2}} = e^{0,5 x_{1}}.
Assim, o gradiente é o vetor
\nabla f(x) = \begin{pmatrix} 0,5 \, x_{2} \, e^{0,5 x_{1}} \\[6pt] e^{0,5 x_{1}} \end{pmatrix}.
]

Passo 4

Calcular a segunda derivada \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}. Derivamos \partial f/\partial x_{1}=0,5\,x_{2}\,e^{0,5x_{1}} em relação a x_{1}:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}} =0,5\,x_{2}\cdot\frac{d}{dx_{1}}\bigl(e^{0,5x_{1}}\bigr) =0,5\,x_{2}\cdot(0,5\,e^{0,5x_{1}}) =0,25\,x_{2}\,e^{0,5x_{1}}.

Passo 5

Calcular as derivadas mistas. Primeiro
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} =\frac{\partial}{\partial x_{2}}\bigl(0,5\,x_{2}\,e^{0,5x_{1}}\bigr) =0,5\,e^{0,5x_{1}}.
Pela igualdade das derivadas mistas (teorema de Schwarz),
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}} =0,5\,e^{0,5x_{1}}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}. Derivando \partial f/\partial x_{2}=e^{0,5x_{1}} em relação a x_{2} (onde não aparece x_{2}) obtemos
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}} =0.

Resposta

Gradiente:
\nabla f(x) = \begin{pmatrix} 0,5 \, x_{2} \, e^{0,5 x_{1}} \\[4pt] e^{0,5 x_{1}} \end{pmatrix}.
Hessiana:
\nabla^{2} f(x) = \begin{pmatrix} 0,25 \, x_{2} \, e^{0,5 x_{1}} & 0,5 \, e^{0,5 x_{1}} \\[6pt] 0,5 \, e^{0,5 x_{1}} & 0 \end{pmatrix}.
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