Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\arcsin \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=\arcsin\bigl(x^{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, além da derivada conhecida de \arcsin(u).

Passo 2

Identificamos a composição
\;u(x)=x^{2},
logo
\;f(x)=\arcsin\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia, usamos também a fórmula
\frac{d}{dx}\arcsin(u)=\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Substituindo na fórmula da etapa anterior, obtemos
f'(x) =\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\bigl(u(x)\bigr)^{2}}} =\frac{2x}{\sqrt{1-(x^{2})^{2}}} =\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Resposta

f'(x)=\displaystyle \frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

Exercícios relacionados