Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\frac{x^{2}}{\sin ^{33} x \cos ^{17} x}

Passo 1

O problema pede para achar a derivada de
f(x)=\frac{x^{2}}{\sin^{33}x\;\cos^{17}x}.
Como temos uma potência de produto no denominador e um monômio no numerador, a técnica mais rápida é a diferenciação logarítmica, que simplifica a conta de derivadas de produtos e quocientes com potências.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para transformar produto e quociente em soma e diferença de logaritmos:
\ln f(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr)-\ln\bigl(\sin^{33}x\bigr)-\ln\bigl(\cos^{17}x\bigr).
Usando as propriedades de logaritmo, isso vira
\ln f(x)=2\ln x -33\ln\bigl(\sin x\bigr)-17\ln\bigl(\cos x\bigr).

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, \frac{d}{dx}[\ln f(x)]=\frac{f'(x)}{f(x)}. No direito, aplicamos regras conhecidas:
  • \frac{d}{dx}[\ln x]=\frac1x,
  • \frac{d}{dx}[\ln(\sin x)]=\cot x,
  • \frac{d}{dx}[\ln(\cos x)]=-\tan x.
    Logo
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{2}{x}-33\cot x +17\tan x.

Passo 4

Para obter f'(x), basta multiplicar ambos os lados por f(x). Substituindo f(x)=\dfrac{x^{2}}{\sin^{33}x\cos^{17}x}, vem
f'(x) =\frac{x^{2}}{\sin^{33}x\cos^{17}x}\Bigl(\frac{2}{x}-33\cot x+17\tan x\Bigr).

Resposta

f'(x) =\frac{x^{2}}{\sin^{33}x\cos^{17}x}\Bigl(\frac{2}{x}-33\cot x+17\tan x\Bigr).

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