Obtenha o vetor gradiente e a matriz hessiana das funções:
f(x)=-2 x_{1}^{2}+4 x_{1}+x_{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x) = -2\,x_{1}^{2} + 4\,x_{1} + x_{2},
onde x = (x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2}, e pede o vetor gradiente e a matriz hessiana. Para isso vamos usar derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial f}{\partial x_{1}} = -4\,x_{1} + 4, \quad \frac{\partial f}{\partial x_{2}} = 1.
Logo, o vetor gradiente é
\nabla f(x) = \begin{pmatrix} -4\,x_{1} + 4 \\[6pt] 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas para montar a hessiana:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}^{2}} = -4, \quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}} = 0, \quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{2}^{2}} = 0.
Portanto, a matriz hessiana é
\nabla^{2}f(x) = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\[6pt] 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

\nabla f(x) = \begin{pmatrix}-4\,x_{1} + 4\\\ 1\end{pmatrix}
\nabla^{2}f(x) = \begin{pmatrix}-4 & 0\\\ 0 & 0\end{pmatrix}

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