Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y)=(2 x, 3 y)

Passo 1

O enunciado define a transformação T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 por
T(x,y) = (2x,3y).
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar as duas propriedades fundamentais:
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. homogeneidade: T(c\,u)=c\,T(u).

Passo 2

Verificação da aditividade. Tomemos u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2),
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T(u+v) = T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) = \bigl(2(x_1+x_2),\,3(y_1+y_2)\bigr) = (2x_1,3y_1) + (2x_2,3y_2) = T(u) + T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y). Então
c\,u = (c x,\,c y),
e
T(c\,u) = T(c x, c y) = (2c x,\;3c y) = c\,(2x,3y) = c\,T(x,y).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é linear. Alternativamente, notamos que
T(x,y) = \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},
o que reforça sua natureza linear.

Resposta

Sim. A transformação T(x,y)=(2x,3y) é linear, pois satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.

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