Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
, definida por
Passo 1
O enunciado define a transformação
por
Para mostrar que
é linear, precisamos verificar as duas propriedades fundamentais:
- aditividade:
, - homogeneidade:
.
Passo 2
Verificação da aditividade. Tomemos
e
. Então
logo
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
e
Passo 4
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear. Alternativamente, notamos que
o que reforça sua natureza linear.
Resposta
Sim. A transformação
é linear, pois satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade.