Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
, definida por
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação
é linear. O conteúdo aqui é definição e testes de transformações lineares, que exigem verificar aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Lembrando que
é linear se, e somente se, para todos
e todo escalar
, tivermos
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 3
Testando aditividade, seja
e
. Então
enquanto
Como aparece o termo extra
no primeiro coordenada de
, não é satisfeita a aditividade em geral.
Passo 4
Para reforçar, testamos homogeneidade. Seja
e
.
enquanto
Como
para
e
, a homogeneidade também falha.
Passo 5
Concluímos que
não satisfaz as duas condições de linearidade e, portanto, não é transformação linear.
Resposta
A transformação
não é linear.