Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y)=\left(x^{2}, y\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\quad T(x,y) = (x^{2},\,y)
é linear. O conteúdo aqui é definição e testes de transformações lineares, que exigem verificar aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Lembrando que T é linear se, e somente se, para todos (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2} e todo escalar \alpha\in\mathbb{R}, tivermos
  1. T\bigl((x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2})\bigr) = T(x_{1},y_{1}) + T(x_{2},y_{2}) (aditividade)
  2. T\bigl(\alpha\,(x,y)\bigr) = \alpha\,T(x,y) (homogeneidade)

Passo 3

Testando aditividade, seja
(x_{1},y_{1}) e (x_{2},y_{2}). Então
T\bigl((x_{1},y_{1}) + (x_{2},y_{2})\bigr) = T(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) = \bigl((x_{1}+x_{2})^{2},\,y_{1}+y_{2}\bigr) = \bigl(x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2},\,y_{1}+y_{2}\bigr),
enquanto
T(x_{1},y_{1}) + T(x_{2},y_{2}) = \bigl(x_{1}^{2},\,y_{1}\bigr) + \bigl(x_{2}^{2},\,y_{2}\bigr) = \bigl(x_{1}^{2} + x_{2}^{2},\,y_{1}+y_{2}\bigr).
Como aparece o termo extra 2x_{1}x_{2} no primeiro coordenada de T((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})), não é satisfeita a aditividade em geral.

Passo 4

Para reforçar, testamos homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e (x,y).
T\bigl(\alpha\,(x,y)\bigr) = T(\alpha x,\,\alpha y) = \bigl((\alpha x)^{2},\,\alpha y\bigr) = \bigl(\alpha^{2}x^{2},\,\alpha y\bigr),
enquanto
\alpha\,T(x,y) = \alpha\,(x^{2},\,y) = \bigl(\alpha x^{2},\,\alpha y\bigr).
Como \alpha^{2}x^{2}\neq \alpha x^{2} para \alpha\neq1 e x\neq0, a homogeneidade também falha.

Passo 5

Concluímos que T não satisfaz as duas condições de linearidade e, portanto, não é transformação linear.

Resposta

A transformação T(x,y)=(x^{2},y) não é linear.

Exercícios relacionados