Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida por T(x, y, z)=(x-y, y+z)

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2},\quad T(x,y,z)=(x-y,\;y+z),
e pede para decidir se T é uma transformação linear. Para isso vamos verificar duas propriedades fundamentais:
1. Aditividade: T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}).
2. Homogeneidade: T(\alpha\mathbf{u})=\alpha\,T(\mathbf{u}).

Passo 2

Verificação da aditividade.
Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2). Então
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2),
e aplicando T,
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) =\bigl((x_1+x_2)-(y_1+y_2),\;(y_1+y_2)+(z_1+z_2)\bigr) =(x_1-y_1,\;y_1+z_1)+(x_2-y_2,\;y_2+z_2).
Mas (x_1-y_1,\;y_1+z_1)=T(\mathbf{u}) e (x_2-y_2,\;y_2+z_2)=T(\mathbf{v}). Logo
T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}).

Passo 3

Verificação da homogeneidade.
Seja \alpha\in\mathbb{R}. Então
\alpha\,\mathbf{u}=(\alpha x_1,\;\alpha y_1,\;\alpha z_1),
e
T(\alpha\,\mathbf{u}) =\bigl(\alpha x_1-\alpha y_1,\;\alpha y_1+\alpha z_1\bigr) =\alpha\,(x_1-y_1,\;y_1+z_1) =\alpha\,T(\mathbf{u}).

Passo 4

Como T preserva somas e multiplicação por escalar, concluímos que é linear. Alternativamente, nota-se que existe a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
tal que T(x,y,z)=A\,(x,y,z)^{T}, o que caracteriza imediatamente uma transformação linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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