Descreva com palavras a superfície cuja equação é dada a seguir.
\rho=2, \quad \pi / 2 \leqslant \varphi \leqslant \pi, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi

Passo 1

O enunciado nos dá uma superfície em coordenadas esféricas definida por \rho=2, \tfrac{\pi}{2}\le\varphi\le\pi e 0\le\theta\le2\pi. Para descrevê-la em palavras, vamos usar a relação entre coordenadas esféricas e cartesianas e interpretar cada restrição.

Passo 2

Em coordenadas esféricas temos as conversões
x = \rho\,\sin(\varphi)\cos(\theta),\quad y = \rho\,\sin(\varphi)\sin(\theta),\quad z = \rho\,\cos(\varphi).
A condição \rho=2 fixa todos os pontos a uma distância 2 da origem, ou seja, na esfera de raio 2:
x^2 + y^2 + z^2 = 2^2.

Passo 3

Como \varphi varia de \tfrac{\pi}{2} até \pi, temos \cos(\varphi)\le0. Logo
z = 2\cos(\varphi)\le0,
o que significa que estamos tomando apenas a parte da esfera que fica no semiespaço z\le0.

Passo 4

O ângulo \theta varre de 0 a 2\pi, cobrindo toda a circunferência em torno do eixo z, sem deixar nenhum “vão”.

Passo 5

Portanto, a superfície descrita é exatamente o hemisfério inferior da esfera de raio 2, isto é, a casca esférica de raio 2 para z\le0, incluindo o círculo de interseção com o plano z=0.

Resposta

É o hemisfério inferior da esfera de raio 2, do plano z=0 até o polo sul, cobrindo toda a volta em torno do eixo z.

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