Para cada uma das transformações a seguir, determine se é ou não uma transformação linear. Justifique sua resposta.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3 dada por
T(x,y,z) = (\,x+y,\;y+z,\;x+z\,)
é linear. Para isso vamos usar a definição: T é linear se, para quaisquer vetores \mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3 e escalar c, valem
  1. T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) (aditividade)
  2. T(c\,\mathbf{u}) = c\,T(\mathbf{u}) (homogeneidade)

Passo 2

Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2). Então
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (\,x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\,)
e
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\;(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\;(x_1+x_2)+(z_1+z_2)\bigr).
Reagrupando,
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = \bigl((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\;(y_1+z_1)+(y_2+z_2),\;(x_1+z_1)+(x_2+z_2)\bigr) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}).

Passo 3

Para escalar c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z) temos
c\,\mathbf{u} = (\,c\,x,\;c\,y,\;c\,z\,) \quad\implies\quad T(c\,\mathbf{u}) = \bigl(c\,x + c\,y,\;c\,y + c\,z,\;c\,x + c\,z\bigr).
Fatorando c,
T(c\,\mathbf{u}) = c\,(x+y,\;y+z,\;x+z) = c\,T(\mathbf{u}).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

Sim. T é linear porque verifica
T(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) \quad\text{e}\quad T(c\,\mathbf{u}) = c\,T(\mathbf{u}).

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